5大阪大学 2018年 数学 第5問解答・解説

(1)　 n$\geq$2 とする。 n-1 試合目に A が勝つ確率が $a_{n-1}$ だから、条件付き確率より $$a_n=pa_{n-1}+q(1-a_{n-1})=q+(p-q)a_{n-1}.$$ ここで D=1-p+q とおくと D>0 であり、c=$\displaystyle \frac{q}{D}$ は c=q+(p-q)c を満たす。したがって $$\displaystyle a_n-c=(p-q)(a_{n-1}-c),\qquad a_1-c=p-\frac{q}{D}=\frac{(1-p)(p-q)}{D}.$$ よって $$\displaystyle a_n=c+(p-q)^{n-1}(a_1-c)=\frac{q+(1-p)(p-q)^n}{1-p+q}.$$

(2)　 B が勝つ 2 試合の位置を i<j とする。連勝しない条件は j-i$\geq$2 である。

まず n 試合目に B が勝つ場合、勝敗列は $\mathrm{A}^r\mathrm{B}\mathrm{A}^s\mathrm{B},\quad r\ge0,\ s\ge1,\ r+s=n-2$ と表せる。 このような列は n-2 通りある。各列の確率は、最初の B または A から始まる場合をそれぞれ数えても共通して $$(1-p)^2q\,p^{n-3}$$ となる。

次に n 試合目に A が勝つ場合、勝敗列は $\mathrm{A}^r\mathrm{B}\mathrm{A}^s\mathrm{B}\mathrm{A}^t,\quad r\ge0,\ s,t\ge1,\ r+s+t=n-2$ と表せる。この列が存在するのは n$\geq$4 である。 (r,s,t) の個数は、r+(s-1)+(t-1)=n-4 を満たす非負整数の組の個数だから $\displaystyle \binom{n-2}{2}$ 通りである。各列の確率は $$(1-p)^2q^2p^{n-4}$$ である。

以上より、n=3 では前者のみで b_3=(1-p)^2q であり、n$\geq$4 では $$\displaystyle b_n=(n-2)(1-p)^2q\,p^{n-3}+\binom{n-2}{2}(1-p)^2q^2p^{n-4}.$$