4徳島大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{袋Aに赤玉がある状態を}R\text{、ない状態を}\overline R\text{とする。各袋には常に玉が2個ずつあるので、}R\text{ならAは赤1個・白1個、}\overline R\text{ならAは白2個であり、状態ごとの遷移確率は玉の配置によらない。}\quad \text{まず、最初にAに赤玉があるのは、最初にBへ移す2個に赤玉が含まれない場合である。したがって}\quad P_0=1-\frac{\binom32}{\binom42}=\frac12.\quad \text{状態}R\text{から1回作業する。(i)でAから白玉を引けば赤玉はAに残る。この確率は}\frac12\text{である。赤玉を引く確率も}\frac12\text{で、そのときBの3個から赤玉を引き戻す確率は}\frac13\text{だから、(i)の後に赤玉がAにある確率は}\frac12+\frac12\cdot\frac13=\frac23\text{である。(i)の後に赤玉がAにない確率は}\frac13\text{であり、この場合Bには赤玉1個と白玉1個がある。(ii)で赤玉をAへ移す確率は}\frac12\text{、Aの3個から白玉をBへ戻す確率は}\frac23\text{なので、最終的に赤玉がAに戻る確率は}\frac12\cdot\frac23=\frac13\text{である。よって}\quad \Pr(R_{n+1}\mid R_n)=\frac23+\frac13\cdot\frac13=\frac79.\quad \text{状態}\overline R\text{では、(i)でAから白玉を引いて戻すため状態は変わらない。(ii)でBから赤玉を引く確率は}\frac12\text{で、その赤玉をAに入れた後、Aの3個から白玉をBへ戻す確率は}\frac23\text{である。したがって}\quad \Pr(R_{n+1}\mid\overline R_n)=\frac12\cdot\frac23=\frac13.\quad \text{ゆえに}\quad P_{n+1}=\frac79P_n+\frac13(1-P_n)=\frac49P_n+\frac13.\text{この漸化式の定数解は}\frac35\text{であり、}\quad P_{n+1}-\frac35=\frac49\left(P_n-\frac35\right).\text{初項}\ P_0=\frac12\text{より}\quad P_n-\frac35=\left(\frac49\right)^n\left(\frac12-\frac35\right)=-\frac1{10}\left(\frac49\right)^n.\text{したがって}\quad P_n=\frac35-\frac1{10}\left(\frac49\right)^n,\qquad P_1=\frac35-\frac1{10}\cdot\frac49=\frac59.\quad \text{次に、最初にAに赤玉があるという条件のもとで、}n\text{回後にAに赤玉がある確率を}\ Q_n\text{とする。同じ遷移確率から}\ Q_{n+1}=\frac49Q_n+\frac13,\quad Q_0=1\text{である。よって}\quad Q_n=\frac35+\frac25\left(\frac49\right)^n.\text{求める条件付き確率は、条件付き確率の公式より}\quad \Pr(R_0\mid R_n)=\frac{\Pr(R_0)\Pr(R_n\mid R_0)}{\Pr(R_n)}=\frac{\frac12\left\{\frac35+\frac25\left(\frac49\right)^n\right\}}{\frac35-\frac1{10}\left(\frac49\right)^n}=\frac{3+2\left(\frac49\right)^n}{6-\left(\frac49\right)^n}.$$