1徳島大学 2016年 数学 第1問解答・解説

共通部分：接点と接線

接点を第1象限の点 $(a,b)$ とすると $a>0,\ b>0$ で、楕円上の条件は $$\displaystyle \frac{a^2}{4}+b^2=1$$ である。曲線 $x^2/4+y^2=1$ を $x$ で微分すると $y'=-x/(4y)$ だから、接線 $\ell$ は $$\displaystyle y-b=-\frac{a}{4b}(x-a)$$ と表せる。楕円上の条件を使って整理すれば $$\displaystyle \frac{a}{4}x+by=1.$$ この直線は $(0,t)$ を通るので $bt=1$、すなわち $b=1/t$。また $a>0$ より $$\displaystyle a=2\sqrt{1-b^2}=\frac{2\sqrt{t^2-1}}{t}.$$ したがって、$\ell$ の $x$ 切片は $4/a$、$y$ 切片は $t$ である。

(1) 軸と $\ell$ で囲まれた三角形の面積は $$\displaystyle S_1(t)=\frac12\cdot\frac4a\cdot t =\frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}}.$$ $u=t^2$ とおくと $u>1$ であり、 $$\displaystyle \frac{d}{du}\left(\frac{u}{\sqrt{u-1}}\right) =\frac{u-2}{2(u-1)^{3/2}}.$$ 分母は正なので、$1<u<2$ では減少し、$u>2$ では増加する。よって最小値は $u=2$、すなわち $t=\sqrt2$ のときの $$\displaystyle \boxed{\min\limits _{t>1}S_1(t)=2}.$$

(2) 高さ $y$ における楕円の左右の端は $x=\pm2\sqrt{1-y^2}$ なので、その横幅は $4\sqrt{1-y^2}$ である。$b=1/t$ を用いると $$\displaystyle S_2(t)=4\int_{1/t}^{1}\sqrt{1-y^2}\,dy.$$ 積分の下端の微分と連鎖律により $$\displaystyle S_2'(t)=-4\sqrt{1-t^{-2}}\,\frac{d}{dt}\left(\frac1t\right) =\frac{4\sqrt{t^2-1}}{t^3}.$$ 再び $u=t^2>1$ とおくと $$\displaystyle S_2'(t)=\frac{4\sqrt{u-1}}{u^{3/2}},\qquad \frac{d}{du}\left(\frac{4\sqrt{u-1}}{u^{3/2}}\right) =\frac{2(3-2u)}{u^{5/2}\sqrt{u-1}}.$$ したがって $S_2'(t)$ は $1<u<3/2$ で増加し、$u>3/2$ で減少する。最大は $t=\sqrt{3/2}$ のときにとり、 $$\displaystyle \boxed{\max\limits _{t>1}S_2'(t) =\frac{4\sqrt{1/2}}{(3/2)^{3/2}} =\frac{8}{3\sqrt3}}.$$