3徳島大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $P(x)=ax^2+bx+c$ とする。 $P$ が整数値整式ならば $P(0),P(1),P(2)$ は整数である。そこで $$m_0=P(0)=c,\qquad m_1=P(1)-P(0)=a+b,$$ $$m_2=P(2)-2P(1)+P(0)=2a$$ とおくと、$m_0,m_1,m_2$ はすべて整数である。また $$\begin{aligned} m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x) &=c+(a+b)x+ax(x-1)\\ &=ax^2+bx+c=P(x) \end{aligned}$$ だから条件 (A) が成り立つ。

逆に、整数 $m_0,m_1,m_2$ を用いて (A) の形に表せるとする。整数 $x$ では $f_1(x)=x$ は整数であり、連続する二整数の積 $x(x-1)$ は偶数なので $f_2(x)=x(x-1)/2$ も整数である。したがって $P(x)$ はすべての整数 $x$ で整数となる。よって (A) は必要十分条件である。

(2)　 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とする。 $P$ が整数値整式ならば $P(0),P(1),P(2),P(3)$ は整数である。そこで $$\begin{aligned} m_0&=P(0)=d,\\ m_1&=P(1)-P(0)=a+b+c,\\ m_2&=P(2)-2P(1)+P(0)=6a+2b,\\ m_3&=P(3)-3P(2)+3P(1)-P(0)=6a \end{aligned}$$ とおくと、すべて整数である。このとき $$\begin{aligned} m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x) &=d+(a+b+c)x+(3a+b)x(x-1)+ax(x-1)(x-2)\\ &=ax^3+bx^2+cx+d=P(x), \end{aligned}$$ よって条件 (B) が成り立つ。

逆に、整数 $m_0,m_1,m_2,m_3$ を用いて (B) の形に表せるとする。整数 $x$ では $f_1(x)$ と $f_2(x)$ は整数である。また、三連続整数 $x,x-1,x-2$ の積は偶数であり、かつ3の倍数でもあるから6の倍数である。したがって $f_3(x)=x(x-1)(x-2)/6$ も整数であり、$P(x)$ はすべての整数 $x$ で整数となる。よって (B) も必要十分条件である。