3金沢大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $25\equiv7\pmod9,\quad7^{-1}\equiv4\pmod9$ より x$\equiv$4$\pmod9$. $x=4+9t$ （tは整数） とおくと $\displaystyle y=\frac{1-25x}{9}=-11-25t$. よって全整数解は (x,y)=(4+9t,-11-25t). (2) 7x$\equiv$33$\equiv$6$\pmod9$ より x$\equiv$6$\pmod9$. x=6+9t とおけば y=$\displaystyle \frac{33-25x}{9}$=-13-25t. したがって x+y=-7-16t. t$\ge$0 なら |x+y|=7+16t$\ge$7; t$\le$-1 なら |x+y|=16(-t)-7$\ge$9. よって最小値は 7 で、t=0、すなわち (x,y)=(6,-13) のときに限り達成する。 (3) (2) の一般解を用いると xy=(6+9t)(-13-25t)=-78-267t-225t^2. xy=-570 より 75t^2+89t-164=0. 判別式は 89^2+4$\cdot$75$\cdot$164=57121=239^2 なので、t=1 または t=-$\displaystyle \frac{164}{75}$. 後者は整数でないため t=1 のみ。したがって (x,y)=(15,-38). 実際、25$\cdot$15+9(-38)=33, 15(-38)=-570 である。