4金沢大学 2016年 数学 第4問解答・解説

（1）$t=\sqrt{1+x^2}$ とおくと $t\ge1,\ x^2=t^2-1$ である。したがって $\displaystyle f(x)=-at^2+2t+a=-a\left(t-\dfrac1a\right)^2+a+\dfrac1a$。頂点 $t=1/a$ が $t\ge1$ を満たすのは $0<a\le1$ のときなので、このとき最大値は $a+1/a$。$a>1$ では $t\ge1$ 上で式は減少し、$t=1$（$x=0$）で最大値 $2$をとる。

（2）$u=x^2$ ($u\ge0$) とおき $g(u)=2\sqrt{1+u}-au$ とする。$f(x)=b$ の解は $g(u)=b$ の解 $u\ge0$ に対応し、$u>0$ の解はそれぞれ $x=\pm\sqrt u$ の2解、$u=0$ は $x=0$ の1解を与える。また $g'(u)=1/\sqrt{1+u}-a,\ g''(u)=-1/(2(1+u)^{3/2})<0$。$a\le0$ なら $g$ は増加して異なるuの値に対して同じ値をとらず、$a\ge1$ なら $u>0$ で減少して異なるuの値に対して同じ値をとらないので、いずれも正の $u$ の解を2個もつことはない。

$0<a<1$ のとき、$g'(u)=0$ となるのは $u_*=1/a^2-1>0$ であり、$g$ は $0\le u\le u_*$ で増加し、その後減少する。$g(0)=2$, $g(u_*)=a+1/a$, かつ $u\to\infty$ で $g(u)\to-\infty$ である。したがって異なる正の $u$ 解を2個もつ必要十分条件は $2<b<a+1/a$。各正の $u$ 解から異なる $x$ 解が2個ずつ生じるため、このとき解は4個であり、これが最大である。$b=2$ では $u=0$ を含むため3個、上下の境界では正の $u$ 解が2個にならない。よって求める範囲は境界を含まず $0<a<1,\ 2<b<a+1/a$ である。図では $a=0$, $a=1$ および $b=2$ の線と $b=a+1/a$ の曲線の間の領域（$0<a<1$）を塗る。