2愛媛大学 2016年 数学 第2問解答・解説

放物線 $C:y=x^{2}+2ax+b$（$a,b$ は実数）について考える。

(1) $f(x)=x^{2}+2ax+b$ とおくと $f'(x)=2x+2a$ であるから，点 $(t,\,t^{2}+2at+b)$ における接線の傾きは $f'(t)=2t+2a$ である。したがって接線の方程式は $$y-(t^{2}+2at+b)=(2t+2a)(x-t)$$ これを整理すると $$y=(2t+2a)x-2t^{2}-2at+t^{2}+2at+b=(2t+2a)x-t^{2}+b$$ よって求める接線の方程式は $$\boxed{y=2(a+t)x-t^{2}+b}$$ である。

(2)(i) 接線が点 $P(p,q)$ を通るとき，$(1)$ の式に $x=p,\ y=q$ を代入すると $$q=2(a+t)p-t^{2}+b$$ これを $t$ について整理すると $$t^{2}-2pt+(q-b-2ap)=0 \qquad (\ast)$$ を得る。すなわち，点 $P(p,q)$ から引ける $C$ の接線は，方程式 $(\ast)$ の実数解 $t$ に一対一に対応する。実際，接線の傾きは $2(a+t)$ であり，これは $t$ が大きくなると必ず大きくなるので，異なる $t$ の値は異なる傾きの接線（したがって異なる接線）を与える。逆に，$(\ast)$ の解 $t$ を用いて $(1)$ の接線を作れば，それは点 $P$ を通る $C$ の接線である。

仮定より $P$ から相異なる2本の接線 $\ell_{1},\ell_{2}$ が引けるので，$(\ast)$ は相異なる2つの実数解 $t_{1}\neq t_{2}$ をもつ。$(\ast)$ は $t$ についての2次方程式であるから，これが異なる2実数解をもつための必要十分条件は，判別式が正であることである。$(\ast)$ の判別式を $D$ とすると $$\displaystyle \frac{D}{4}=p^{2}-(q-b-2ap)$$ であるから，$D>0$ より $$p^{2}-q+b+2ap>0 \text{すなわち} q<p^{2}+2ap+b$$ が成り立つ。（証明終）

(2)(ii) $(\ast)$ の2つの実数解を $t_{1},t_{2}$ とすると，解と係数の関係より $$t_{1}+t_{2}=2p,\qquad t_{1}t_{2}=q-b-2ap$$ $\ell_{1},\ell_{2}$ の傾きはそれぞれ $m_{1}=2(a+t_{1}),\ m_{2}=2(a+t_{2})$ である。$\ell_{1}\perp\ell_{2}$ となる条件は $m_{1}m_{2}=-1$ であるから $$m_{1}m_{2}=4(a+t_{1})(a+t_{2})=4\bigl\{a^{2}+a(t_{1}+t_{2})+t_{1}t_{2}\bigr\}$$ ここに $t_{1}+t_{2}=2p,\ t_{1}t_{2}=q-b-2ap$ を代入すると $$m_{1}m_{2}=4\bigl\{a^{2}+2ap+(q-b-2ap)\bigr\}=4(a^{2}+q-b)$$ となり，$p$ の項が打ち消し合って消える。よって直交条件は $$\displaystyle 4(a^{2}+q-b)=-1 \text{すなわち} a^{2}+q-b=-\frac{1}{4} \text{すなわち} q=b-a^{2}-\frac{1}{4}$$ すなわち $$\displaystyle \boxed{q=b-a^{2}-\dfrac{1}{4}}$$ である。これは $p$ に依存せず，$a,b$ だけで定まる。

検算. $C:y=x^{2}+2ax+b=(x+a)^{2}+(b-a^{2})$ であるから，$x'=x+a,\ y'=y-(b-a^{2})$ とおくと $C$ は標準形 $y'=x'^{2}$（$x'^{2}=1\cdot y'$，焦点距離 $\displaystyle \tfrac14$）の平行移動である。放物線 $x'^{2}=4p_{0}y'$ から引いた2本の接線が直交する点の軌跡は準線 $y'=-p_{0}$ であることは既知（今回は $4p_{0}=1$ より $\displaystyle p_{0}=\tfrac14$，準線は $\displaystyle y'=-\tfrac14$）であり，これは $\displaystyle y-(b-a^{2})=-\tfrac14$，すなわち $\displaystyle q=b-a^{2}-\tfrac14$ と一致する。

さらに数値例で検算する。$a=1,\ b=2,\ p=0$ とすると $\displaystyle q=2-1-\tfrac14=\tfrac34$。このとき $(\ast)$ は $\displaystyle t^{2}+\left(\tfrac34-2\right)=t^{2}-\tfrac54=0$ となり $\displaystyle t=\pm\sqrt{\tfrac54}$。傾きは $m_{1,2}=2(1\pm\sqrt{5/4})$ であり $$\displaystyle m_{1}m_{2}=4-4\cdot\frac54=4-5=-1$$ となって直交条件を満たすことが確認できる。また $(2)(\mathrm{i})$ の不等式 $q<p^{2}+2ap+b$ に $\displaystyle q=b-a^{2}-\tfrac14$ を代入すると $\displaystyle (p+a)^{2}+\tfrac14>0$ となり，任意の実数 $p$ に対して常に成り立つので，(ii) で得た $q$ に対して実際に相異なる2接線が存在することとも矛盾しない。