6愛媛大学 2016年 数学 第6問解答・解説

(1) 移動後の楕円は $\displaystyle \frac{(x-a)^2}{4}+(y-b)^2=1$ である。これと $y$ 軸 $x=0$ の交点は $a^2/4+(y-b)^2=1$ を満たす。接するには $a^2/4=1$ が必要で、$a>0$ より $a=2$。次に $y=x$ を代入し、$a=2$ とすると $$\displaystyle \frac{(x-2)^2}{4}+(x-b)^2=1 \quad\text{と同値な式は}\quad 5x^2-(4+8b)x+4b^2=0.$$ 接する条件はこの二次方程式の判別式が0であることだから、 $$(4+8b)^2-80b^2=0 \quad\text{と同値な式は}\quad b^2-4b-1=0.$$ $b>0$ より $b=2+\sqrt5$。

(2) $A_1A_2=A_2A_3=\sqrt n$、また正 $n$ 角形の内角 $\angle A_1A_2A_3=\pi-2\pi/n$ である。従って $$\displaystyle S_n=\frac12 n\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{n}\right) =\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}.$$ $\theta=2\pi/n$ とおくと $S_n=\pi(\sin\theta/\theta)$ なので、基本極限より $\displaystyle \lim S_n=\pi$。

(3) 共有点の $x$ 座標は $x>0$ で $$\displaystyle F(x)=\frac{x^2}{2a^2}-\log x-b=0$$ を満たす。$F'(x)=x/a^2-1/x$ は $0<x<a$ で負、$x>a$ で正である。また $F(x)\to+\infty$ は $x\to0+$ および $x\to+\infty$ の両端で成り立つ。よって共有点がただ1つとなるのは最小値が0のときに限り、その接点は $x=a$。このとき $y=a^2/(2a^2)=1/2$ なので $$\displaystyle P=(a,\tfrac12),\qquad b=\tfrac12-\log a.$$

(4) 積分を $t=x$ で分けると $$\displaystyle f(x)=\int_1^x\frac{x-t}{t^2}\,dt+\int_x^2\frac{t-x}{t^2}\,dt =\frac32x-2-2\log x+\log2.$$ したがって $\displaystyle f'(x)=\frac32-\frac2x$。$1\le x<4/3$ で負、$4/3<x\le2$ で正なので、区間内の最小点は $x=4/3$ である。