7愛媛大学 2016年 数学 第7問解答・解説

設定を整理する。$\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{2},\ g(x)=x,\ h(x)=\dfrac{x+1}{2}$ であり，$x_0=1$ から出発して，2枚の硬貨を1回投げるごとに $$\displaystyle x_n=\begin{cases}f(x_{n-1}) & (\text{2枚とも表：確率}\ \tfrac14)\\ g(x_{n-1}) & (\text{1枚が表・1枚が裏：確率}\ \tfrac12)\\ h(x_{n-1}) & (\text{2枚とも裏：確率}\ \tfrac14)\end{cases}$$ により $x_n$ を定める（2枚の硬貨は表裏同様に確からしく，かつ各回の試行は独立である）。

(1) すべての自然数 $n$ に対して $0<x_n\leq1$ が成り立つことを，数学的帰納法で示す。

まず，$0<x\leq1$ を満たす任意の実数 $x$ に対して，$f,g,h$ の値をそれぞれ調べる。 $$\displaystyle 0<x\leq1 \ \text{より}\ 0<f(x)=\frac{x}{2}\leq\frac12\leq1,\qquad 0<g(x)=x\leq1,$$ $$\displaystyle 1<x+1\leq2 \ \text{より}\ \frac12<h(x)=\frac{x+1}{2}\leq1.$$ したがって，$0<x\leq1$ を満たす $x$ に $f,g,h$ のいずれを施しても，得られる値は必ず $0$ より大きく $1$ 以下になる。

$n=0$ のとき $x_0=1$ であり $0<x_0\leq1$ を満たす。$n-1$ 回目まで $0<x_{n-1}\leq1$ が成り立つと仮定すると，$x_n$ は $f(x_{n-1}),g(x_{n-1}),h(x_{n-1})$ のいずれか一つの値であり，上の考察によりいずれの場合も $0<x_n\leq1$ となる。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ に対して $0<x_n\leq1$ が成り立つ。 $\blacksquare$

(2) $x_0=1$ である。$\displaystyle f(1)=\dfrac12,\ g(1)=1,\ h(1)=\dfrac{1+1}{2}=1$ であるから， $$\displaystyle x_1=\begin{cases}\dfrac12 & (\text{確率}\ \tfrac14,\ \text{2枚とも表})\\[2pt] 1 & (\text{確率}\ \tfrac12+\tfrac14=\tfrac34,\ \text{1表1裏または2枚とも裏})\end{cases}$$ $\displaystyle x_1=\dfrac12$ は $\displaystyle \dfrac13<x_1\leq\dfrac23$ に，$x_1=1$ は $\displaystyle \dfrac23<x_1\leq1$ に入るから， $$\displaystyle p_1=P\left(0<x_1\leq\frac13\right)=0,\qquad q_1=P\left(\frac13<x_1\leq\frac23\right)=\frac14,\qquad r_1=P\left(\frac23<x_1\leq1\right)=\frac34.$$ （検算：$\displaystyle p_1+q_1+r_1=0+\tfrac14+\tfrac34=1$。）

(3) $x_{n-1}$ の値が属する区間ごとに，$f(x_{n-1}),g(x_{n-1}),h(x_{n-1})$ がどの区間に入るかを調べる。

(i) $\displaystyle 0<x_{n-1}\leq\dfrac13$（確率 $p_{n-1}$）のとき $$\displaystyle 0<f(x_{n-1})=\frac{x_{n-1}}{2}\le \frac16\le \frac13,\quad 0<g(x_{n-1})=x_{n-1}\le \frac13,$$ $$\displaystyle \frac13\le \frac12<h(x_{n-1})=\frac{x_{n-1}+1}{2}\le \frac23.$$ よって $f,g$ は $p_n$ に，$h$ は $q_n$ に寄与する。

(ii) $\displaystyle \dfrac13<x_{n-1}\leq\dfrac23$（確率 $q_{n-1}$）のとき $$\displaystyle 0\le \frac16<f(x_{n-1})=\frac{x_{n-1}}{2}\le \frac13,\quad \frac13<g(x_{n-1})=x_{n-1}\le \frac23,$$ $$\displaystyle \frac23<h(x_{n-1})=\frac{x_{n-1}+1}{2}\le \frac56\le 1.$$ よって $f$ は $p_n$，$g$ は $q_n$，$h$ は $r_n$ に寄与する。

(iii) $\displaystyle \dfrac23<x_{n-1}\leq1$（確率 $r_{n-1}$）のとき $$\displaystyle \frac13<f(x_{n-1})=\frac{x_{n-1}}{2}\le \frac12\le \frac23,\quad \frac23<g(x_{n-1})=x_{n-1}\le 1,$$ $$\displaystyle \frac23\le \frac56<h(x_{n-1})=\frac{x_{n-1}+1}{2}\le1.$$ よって $f$ は $q_n$，$g,h$ は $r_n$ に寄与する。

以上と，$f,g,h$ が選ばれる確率がそれぞれ $\displaystyle \tfrac14,\tfrac12,\tfrac14$ であることをあわせると， $$\displaystyle \boxed{p_n=\frac34p_{n-1}+\frac14q_{n-1}},\qquad \boxed{q_n=\frac14p_{n-1}+\frac12q_{n-1}+\frac14r_{n-1}},\qquad \boxed{r_n=\frac14q_{n-1}+\frac34r_{n-1}}$$ （$n=1,2,3,\dots$，ただし $x_0=1$ に対応して $p_0=0,\ q_0=0,\ r_0=1$ とする）。 検算：$n=1$ を代入すると $\displaystyle p_1=\tfrac34\cdot0+\tfrac14\cdot0=0,\ q_1=\tfrac14\cdot0+\tfrac12\cdot0+\tfrac14\cdot1=\tfrac14,\ r_1=\tfrac14\cdot0+\tfrac34\cdot1=\tfrac34$ となり，(2)の結果と一致する。

(4) (3)の第1式と第3式の辺々を引くと，$q_{n-1}$ の項が消えて $$\displaystyle p_n-r_n=\left(\frac34p_{n-1}+\frac14q_{n-1}\right)-\left(\frac14q_{n-1}+\frac34r_{n-1}\right)=\frac34\left(p_{n-1}-r_{n-1}\right).$$ したがって数列 $\{p_n-r_n\}$ は公比 $\displaystyle \dfrac34$ の等比数列であり，初項は $p_0-r_0=0-1=-1$ であるから， $$\displaystyle p_n-r_n=(p_0-r_0)\left(\frac34\right)^{n}=-\left(\frac34\right)^{n}.$$ 検算：$n=1$ で $\displaystyle p_1-r_1=0-\tfrac34=-\tfrac34=-(3/4)^1$ と一致する。

(5) 各 $n$ で $p_n+q_n+r_n=1$（3つの排反な事象の和事象が全事象）であるから，$q_{n-1}=1-p_{n-1}-r_{n-1}$ を(3)の第1式に代入して $$\displaystyle p_n=\frac34p_{n-1}+\frac14\left(1-p_{n-1}-r_{n-1}\right)=\frac12p_{n-1}-\frac14r_{n-1}+\frac14.$$ さらに(4)の結果 $\displaystyle r_{n-1}=p_{n-1}+\left(\dfrac34\right)^{n-1}$ を代入すると，$p_{n-1}$ の項がまとまり， $$\displaystyle p_n=\frac12p_{n-1}-\frac14\left\{p_{n-1}+\left(\frac34\right)^{n-1}\right\}+\frac14=\frac14p_{n-1}-\frac14\left(\frac34\right)^{n-1}+\frac14\qquad(n=1,2,3,\dots).$$ これは $p_n$ のみについての1階線形漸化式である。定数項 $\displaystyle \dfrac14$ に対する特殊解を $p_n=A$（定数）として代入すると $\displaystyle A=\dfrac14A+\dfrac14$ より $\displaystyle A=\dfrac13$。等比項 $\displaystyle -\dfrac14\left(\dfrac34\right)^{n-1}$ に対する特殊解を $\displaystyle p_n=B\left(\dfrac34\right)^{n}$ とおいて代入すると $$\displaystyle B\left(\frac34\right)^{n}=\frac14B\left(\frac34\right)^{n-1}-\frac14\left(\frac34\right)^{n-1}\ \text{より}\ \frac34B=\frac14B-\frac14\ \text{より}\ B=-\frac12.$$ よって一般解は $$\displaystyle p_n=C\left(\frac14\right)^{n}+\frac13-\frac12\left(\frac34\right)^{n}$$ （$C$は定数，斉次解 $\displaystyle \left(\tfrac14\right)^n$ を含む）。$p_0=0$ を用いると $$\displaystyle 0=C+\frac13-\frac12\ \text{より}\ C=\frac16.$$ したがって $$\displaystyle p_n=\frac13-\frac12\left(\frac34\right)^{n}+\frac16\left(\frac14\right)^{n}\qquad(n=0,1,2,\dots).$$ 検算：$n=1$ で $\displaystyle p_1=\tfrac13-\tfrac12\cdot\tfrac34+\tfrac16\cdot\tfrac14=\tfrac{8}{24}-\tfrac{9}{24}+\tfrac{1}{24}=0$ となり(2)と一致。さらに(3)から直接 $\displaystyle p_2=\tfrac34p_1+\tfrac14q_1=\tfrac14\cdot\tfrac14=\tfrac1{16}$ を計算すると，公式でも $\displaystyle p_2=\tfrac13-\tfrac12\cdot\tfrac9{16}+\tfrac16\cdot\tfrac1{16}=\tfrac{32}{96}-\tfrac{27}{96}+\tfrac{1}{96}=\tfrac{6}{96}=\tfrac1{16}$ となり一致する。また $n\to\infty$ で $\displaystyle p_n\to\dfrac13$ となり，対称な遷移構造から $p_n,q_n,r_n$ がいずれも $\displaystyle \dfrac13$ に収束するという直感とも整合する。 一般項を求める別の短い計算として、$\displaystyle q_n=\frac14(p_{n-1}+r_{n-1})+\frac12q_{n-1}=\frac14+\frac14q_{n-1}$ より $\displaystyle q_n=\frac13-\frac13(\frac14)^n$。これと $p_n+r_n=1-q_n$、(4)を加減すれば(5)を得る。