三重大学 2013年数学第3問解答・解説

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1問題

三重大学2013年度第3問

正四面体 ABCD を考える。点 P は，時刻 0 では頂点 A にあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする。n を 0 以上の整数とし，点 P が n 秒後に A, B, C, D にある確率を，それぞれ p_n, q_n, r_n, s_n とする。このとき以下の問いに答えよ。

(1) n≧1 に対し $q_n=r_n=s_n$ となることを数学的帰納法で証明せよ。

(2) n≧1 に対し p_n, q_n を p_{n−1}, q_{n−1} で表せ。ただし，p_0=1, q_0=0 とする。

(3) c_n=p_n−q_n とおいて c_n の一般項を求めよ。

(4) p_n の一般項を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) n=1$ で $q_1=r_1=s_1=1/3$ 。nで $q_n=r_n=s_n$ と仮定すると、次時刻の各確率は $(p_n+2q_n)/3$ となるため等しい。よって数学的帰納法で全てのn≧1について成立する。 $(2) p_n=q_{n-1}, q_n=(p_{n-1}+2q_{n-1})/3$ 。 $(3) c_n=(-1/3)^n$ 。 $(4) p_n=1/4+(3/4)(-1/3)^n$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $n=1$ では $q_1=r_1=s_1=1/3$ 。 $q_n=r_n=s_n$ と仮定すると、次時刻にB,C,Dへ移る確率はそれぞれ $(p_n+r_n+s_n)/3,(p_n+q_n+s_n)/3,(p_n+q_n+r_n)/3$ で等しい。よって数学的帰納法から $q_n=r_n=s_n$ 。

(2) Aに移るのはB,C,Dからであるから $\displaystyle p_n=q_{n-1},\qquad q_n=\frac{p_{n-1}+2q_{n-1}}3.$ 初期値 $p_0=1,q_0=0$ に対しても成り立つ。

(3) 差 $c_n=p_n-q_n$ をとれば $c_n=-c_{n-1}/3$ 、 $c_0=1$ なので $\displaystyle c_n=\left(-\frac13\right)^n.$ (4) 確率の和から $p_n+3q_n=1$ 。これと $p_n-q_n=c_n$ を連立して $\displaystyle p_n=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^n\quad(n\ge0).$

この問題で使う考え方

数学的帰納法
漸化式
等比数列

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