三重大学 2013年数学第2問解答・解説

三角関数図形と方程式図形と計量

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1問題

三重大学2013年度第2問

θ を 0<θ<π/6 となる実数とし，平面上に3点 O(0, 0), P(cosθ, sinθ), Q(cos3θ, −sin3θ) をとる。さらに線分 PQ と x 軸との交点を R とする。以下の問いに答えよ。

(1) 加法定理を用いて cos3θ を cosθ だけで表す式を導け。同様に sin3θ を sinθ だけで表す式を導け。

(2) PR:RQ=5:11 のとき，sinθ, cosθ の値を求めよ。

(3) (2) の条件下で △POR の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ , $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ . (2) $\displaystyle \sin\theta=\frac1{\sqrt5}$ , $\displaystyle \cos\theta=\frac2{\sqrt5}$ . (3) $\displaystyle [\triangle POR]=\frac3{20}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

内分点の公式から $\displaystyle R=\frac{11P+5Q}{16}$ 。 $y_R=0$ を三倍角公式に代入して $4\sin\theta(5\sin^2\theta-1)=0$ 、範囲から $\displaystyle \sin\theta=\frac1{\sqrt5}$ 、 $\displaystyle \cos\theta=\frac2{\sqrt5}$ 。さらに $\displaystyle x_R=\frac3{2\sqrt5}>0$ なのでRは正のx軸上。よって $\displaystyle [POR]=\frac{|OR|\sin\theta}{2}=\frac3{20}$ 。

既存A077の解説を原文に照らして実質点検。内分点は $\displaystyle R=\frac{11P+5Q}{16}$ 。 $y_R=0$ と $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ から $\displaystyle \sin\theta=\frac1{\sqrt5}$ 、指定範囲で $\displaystyle \cos\theta=\frac2{\sqrt5}$ 。 $\displaystyle \cos3\theta=\frac{\cos\theta}{5}$ より $\displaystyle x_R=\frac3{2\sqrt5}>0$ 、面積 $\displaystyle \frac3{20}$ 。current authorも同じ三倍角展開・符号・面積根拠を記し結論が一致。

この問題で使う考え方

加法定理・二倍角公式
線分の内分点
三角形の面積

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