4岡山大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$\mathbf e_1$ を $\overrightarrow{BA}$ 方向の単位ベクトル、$\mathbf e_2$ を $\overrightarrow{BC}$ 方向の単位ベクトルとする。$\mathbf e_1\cdot\mathbf e_2=\cos2\theta$ で、点を $\alpha\mathbf e_1+\beta\mathbf e_2$ の座標 $(\alpha,\beta)$ で表すと、$B=(0,0), A=(x,0), C=(0,y), D=(x,y)$。平行四辺形は $0\le\alpha\le x,\ 0\le\beta\le y$ である。

内角二等分線は $$\ell_B:\alpha=\beta,\quad \ell_A:\alpha+\beta=x,\quad \ell_C:\alpha+\beta=y,\quad \ell_D:\alpha-\beta=x-y.$$ 従って $$E=(x/2,x/2),\quad F=(y/2,y/2),\quad G=(x/2,y-x/2),\quad H=(x-y/2,y/2).$$

(1) $d=y-x>0$ とおくと $$\displaystyle \overrightarrow{EF}=\frac d2(\mathbf e_1+\mathbf e_2),\qquad \overrightarrow{EH}=\frac d2(-\mathbf e_1+\mathbf e_2).$$ 内積は零なので $\angle FEH=\pi/2$。

(2) $A=(x,0)$ からE,Hへのベクトルはそれぞれ $$\displaystyle \overrightarrow{AE}=\frac x2(-\mathbf e_1+\mathbf e_2),\qquad \overrightarrow{AH}=\frac y2(-\mathbf e_1+\mathbf e_2).$$ $|-\mathbf e_1+\mathbf e_2|=2\sin\theta$ より $$AE=x\sin\theta,\qquad AH=y\sin\theta.$$

(3) Hの座標は $(x-y/2,y/2)$。第2座標は辺の範囲内で、第1座標が負となるのは $y>2x$ のときである。ゆえにHが平行四辺形の外部にある条件は $y>2x$。

(4) EFGHは長方形で、隣辺の長さは $$\displaystyle EF=\frac{y-x}{2}|\mathbf e_1+\mathbf e_2|=(y-x)\cos\theta,\quad EH=\frac{y-x}{2}|-\mathbf e_1+\mathbf e_2|=(y-x)\sin\theta.$$ したがって長方形の面積は $\displaystyle \frac{(y-x)^2}{2}\sin2\theta$。

$y\le2x$ なら四頂点E,F,G,Hは平行四辺形内にあり、長方形全体が含まれるので $$\displaystyle S=\frac{(y-x)^2}{2}\sin2\theta.$$ $y>2x$ ではH,F側の二つの角が外に出る。それぞれの外側三角形の直角をなす辺の長さは $(y-2x)\sin\theta$ と $(y-2x)\cos\theta$ だから、二つの面積の合計は $\displaystyle \frac{(y-2x)^2}{2}\sin2\theta$。よって $$\displaystyle S=\frac{(y-x)^2-(y-2x)^2}{2}\sin2\theta =\frac{x(2y-3x)}{2}\sin2\theta.$$

隣接辺方向を単位ベクトルに取り、内角二等分線を二つの座標の和・差が一定の直線として表す。交点の座標から直角・長さ・Hの位置を求める。重なり面積は、まず長方形EFGHの面積を出し、H,Fが辺を越える場合にだけ出る二つの対称な直角三角形を差し引く。