5東京大学 2024年 数学 第5問解答・解説

PDF p1理科全6問、p12の三角形ABDとx軸回転を確認。医学科対応は固定書誌による。

$D=(1/2,0,1/2)$ であり、三角形 $ABD$ は平面 $x+y+z=1$ 上にある。$x$ を固定すると、断面は $y+z=1-x$ 上の線分となる。回転後の断面は、線分上の距離 $r=\sqrt{y^2+z^2}$ の最小値を内半径、最大値を外半径とする円環である。

外半径は $R(x)=1-x$。実際、$0\le x\le 1/2$ では線分の端点は $AB$ 上の $(y,z)=(1-x,0)$ と $BD$ 上の $(1-2x,x)$ であり、 $$(1-x)^2-\{(1-2x)^2+x^2\}=2x(1-2x)\ge0.$$ $1/2\le x\le1$ では端点は $(1-x,0)$ と $(0,1-x)$ で、どちらも距離は $1-x$ である。

内半径は、$s=1-x$ とおくと $$\displaystyle y^2+z^2=(s-z)^2+z^2=2\left(z-\frac{s}{2}\right)^2+\frac{s^2}{2}.$$ $0\le x\le1/2$ では線分上の $z$ は $0\le z\le x$ である。$x<1/3$ なら $s/2>x$ なので最小値は $z=x$ で生じ、$\displaystyle r_{\min}^2=(1-2x)^2+x^2$。$x\ge1/3$ なら $z=s/2$ が線分上にあり、$\displaystyle r_{\min}^2=(1-x)^2/2$。$1/2\le x\le1$ でも $z=s/2$ が線分上にあるので同じ式になる。

よって体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\pi\int_0^{1/3}\left\{(1-x)^2-\bigl((1-2x)^2+x^2\bigr)\right\}\,dx +\pi\int_{1/3}^1\left\{(1-x)^2-\frac{(1-x)^2}{2}\right\}\,dx\\ &=\pi\int_0^{1/3}(2x-4x^2)\,dx+\frac{\pi}{2}\int_{1/3}^1(1-x)^2\,dx\\ &=\frac{5\pi}{81}+\frac{4\pi}{81} =\boxed{\frac{\pi}{9}}. \end{aligned}$$