2京都大学 2012年 数学 第2問解答・解説

正四面体の一辺の長さを $l$ とし、$\mathbf a=\overrightarrow{OA}$、$\mathbf b=\overrightarrow{OB}$、$\mathbf c=\overrightarrow{OC}$ とおく。各面が正三角形だから $$\displaystyle |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=l,\qquad \mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf c=\mathbf c\cdot\mathbf a=\frac{l^2}{2}.$$ $P,Q,R$ はそれぞれ辺の内点なので、$0<x,y,z<1$ として $$\overrightarrow{OP}=x\mathbf a,\qquad \overrightarrow{OQ}=y\mathbf b,\qquad \overrightarrow{OR}=z\mathbf c$$ と書ける。内積を用いて距離を計算すると $$\displaystyle \frac{PQ^2}{l^2}=x^2+y^2-xy,\quad \frac{QR^2}{l^2}=y^2+z^2-yz,\quad \frac{RP^2}{l^2}=z^2+x^2-zx.$$ 三角形 $PQR$ は正三角形なので、これらは等しい。最初の2つを等しいとすると $$(x-z)(x+z-y)=0,$$ また後ろ2つを等しいとすると $$(y-x)(x+y-z)=0.$$ もし $x\ne z$ なら最初の式から $y=x+z$。すると2つ目の左辺は $z(2x)>0$ となり矛盾する。よって $x=z$。2つ目の式は $(y-x)y=0$ となり、$y>0$ だから $y=x$。従って $x=y=z$。

ゆえに $$\overrightarrow{PQ}=x(\mathbf b-\mathbf a),\quad \overrightarrow{QR}=x(\mathbf c-\mathbf b),\quad \overrightarrow{RP}=x(\mathbf a-\mathbf c),$$ となるので、それぞれ $AB,BC,CA$ に平行である。