1京都大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1)}\quad &0<a\le 1\text{ のとき }1\le (1+a^n)^{1/n}\le 2^{1/n}\longrightarrow 1.\\ &a>1\text{ のとき }(1+a^n)^{1/n}=a(1+a^{-n})^{1/n},\quad 1\le(1+a^{-n})^{1/n}\le2^{1/n}\longrightarrow1.\\ &\therefore\ \lim\limits _{n\to\infty}(1+a^n)^{1/n}=\begin{cases}1&(0<a\le1),\\a&(a>1),\end{cases}=\max\{1,a\}.\\[4pt] \text{(2)}\quad &u=\log\sqrt{1+x^2},\quad dv=x^{-2}\,dx\text{ とおくと、} du=\frac{x}{1+x^2}\,dx,\quad v=-\frac1x.\\ &\int_1^{\sqrt3}\frac{\log\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx =\left[-\frac{\log\sqrt{1+x^2}}{x}\right]_1^{\sqrt3} +\int_1^{\sqrt3}\frac{dx}{1+x^2}.\\ &=-\frac{\log 2}{\sqrt3}+\log\sqrt2 +\int_{\pi/4}^{\pi/3}d\theta\quad(x=\tan\theta)\\ &=-\frac{\log 2}{\sqrt3}+\frac12\log2+\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right) =\frac\pi{12}+\left(\frac12-\frac1{\sqrt3}\right)\log2. \end{aligned}$$