IV鳥取大学 2016年 数学 第IV問解答・解説

(1) 商の微分法より、 $$\displaystyle f'(x)=\frac{x^\beta\cdot\frac1x-\beta x^{\beta-1}\log x}{x^{2\beta}}=\frac{1-\beta\log x}{x^{\beta+1}}.$$ 分母は正であり、分子は $x=e^{1/\beta}$ で 0 になる。したがって、 $$0<x<e^{1/\beta}\text{では }f'(x)>0,\qquad x>e^{1/\beta}\text{では }f'(x)<0.$$ よって $f$ は $0<x<e^{1/\beta}$ で増加し、$x>e^{1/\beta}$ で減少する。$x=e^{1/\beta}$ で最大値 $$\displaystyle f(e^{1/\beta})=\frac{1/\beta}{e}=\frac{1}{\beta e}$$ をとる。定義域の左端は含まれず、$f$ はその左側で増加するので最小値はない。

(2) $t=\log x$ とおくと、$x\to\infty$ のとき $t\to\infty$ である。$t>0$ では $\beta>1$ より $e^{\beta t}>e^t$ であり、問題文の不等式から $$\displaystyle 0<f(x)=\frac{t}{e^{\beta t}}<\frac{t}{e^t}<\frac{2}{t}.$$ 右端は 0 に収束するので、はさみうちにより $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0.$$

(3) 部分積分を行うと、 $$\displaystyle \begin{aligned} I(a)&=\left[\frac{x^{1-\beta}\log x}{1-\beta}\right]_1^a-\int_1^a\frac{x^{1-\beta}}{1-\beta}\cdot\frac1x\,dx\\ &= -\frac{a^{1-\beta}\log a}{\beta-1}+\frac{1}{\beta-1}\int_1^a x^{-\beta}\,dx\\ &= -\frac{a^{1-\beta}\log a}{\beta-1}+\frac{1-a^{1-\beta}}{(\beta-1)^2}\\ &=\frac{1-a^{1-\beta}\{1+(\beta-1)\log a\}}{(\beta-1)^2}. \end{aligned}$$

(4) $c=\beta-1>0$ とおき、$t=c\log a$ とすると $a\to\infty$ のとき $t\to\infty$ であり、 $$\displaystyle a^{1-\beta}\log a=\frac{t}{c}e^{-t}\to0,$$ ここで $t>0$ に対する $e^t>t^2/2$ より $0<t e^{-t}<2/t\to0$ を用いた。また $a^{1-\beta}=e^{-t}\to0$ である。(3) の式から $$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}I(a)=\frac{1}{(\beta-1)^2}.$$