I鳥取大学 2016年 数学 第I問解答・解説

(1)　 a_n=$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}$(2k-1)^2=4$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}$k^2-4$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}$k+n. $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}$k=$\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$,　 $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}$k^2=$\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より, a_n=$\displaystyle \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$-2n(n+1)+n=$\displaystyle \frac{n(4n^2-1)}{3}$=$\displaystyle \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$. (2)　 b_n=$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}$(2k)^2=4$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}$k^2=$\displaystyle \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$. よって, a_n-b_n=$\displaystyle \frac{n(4n^2-1)-2n(n+1)(2n+1)}{3}$=-n(2n+1). (3)　 c_n=a_{n+1}-b_n=$\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)-2n(n+1)(2n+1)}{3}$=(n+1)(2n+1). 2n+1 は奇数なので, c_n が偶数であることと n+1 が偶数であることは同値である。したがって n は奇数。 n$\equiv$ 0,1,2$\pmod 3$ のそれぞれについて (n+1)(2n+1)$\equiv$ 1,0,0$\pmod 3$ だから, 3$\mid$ c_n であることと n$\not\equiv$0$\pmod3$ は同値である。 以上より,6$\mid$ c_n となるのは n が奇数で,かつ 3 の倍数でないときである。これは n$\equiv$1,5$\pmod6$ と同値だから, n=6k+1 または n=6k+5 (k=0,1,2,$\ldots$).