III鳥取大学 2016年 数学 第III問解答・解説

曲線の式を平方完成して、まず実数点の範囲を調べる。

$$(y-x)^2=x^2(1-x^2).$$

左辺は0以上なので、$x^2(1-x^2)\ge0$。したがって$-1\le x\le1$である。$x=1$を元の式に戻すと$(y-1)^2=0$となり、$y=1$に限られる。よって$x$座標が最大となる点は$(1,1)$。

次に、$s=\sqrt{1-x^2}$とおくと、曲線上の$y$は$y=x\pm|x|s$である。$-1\le x\le0$では大きい方でも$y=x(1-s)\le0$だから、最大値は$x\ge0$側で調べればよい。$0\le x\le1$の上側の枝は$y=x(1+s)\ge0$。ここで$t=s$、$u=1+t$とおくと、$0\le t\le1$、$1\le u\le2$であり、$x^2=1-t^2$から

$$y^2=(1-t^2)(1+t)^2=(1-t)(1+t)^3=(2-u)u^3.$$

次の恒等式により最大値を評価できる。

$$\displaystyle \frac{27}{16}-(2-u)u^3=\frac{(2u-3)^2(4u^2+4u+3)}{16}\ge0.$$

等号は$\displaystyle u=\frac32$、すなわち$\displaystyle t=\frac12$のときに成立する。このとき$\displaystyle x=\sqrt{1-t^2}=\frac{\sqrt3}{2}$、$\displaystyle y=x(1+t)=\frac{3\sqrt3}{4}$。したがって$y$座標が最大となる点は$\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{3\sqrt3}{4}\right)$である。

(2) 曲線の二つの枝の差は$2|x|\sqrt{1-x^2}$。枝は$x=-1,0,1$で交わり、左右に一つずつ閉じた部分を囲む。面積の合計は

$$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{-1}^{1}2|x|\sqrt{1-x^2}\,dx\\ &=4\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx\\ &=4\left[-\frac{(1-x^2)^{3/2}}{3}\right]_0^1=\frac43. \end{aligned}$$

左右の図形は原式で$x,y$の符号を同時に反転しても変わらないため、対称であり、それぞれの面積は$\displaystyle \frac23$。設問(2)の面積は合計$\displaystyle \frac43$である。