2東京医科歯科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

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; compile with diagram.svg beside this file. (1) $z=0$ における $Q$ の断面は$-1\le x\le1$、$-1\le y\le1$ で表される正方形 $C$、$S$ の断面は $x^2+y^2\leq10/9$ で表される円盤 $D$ である。$1<10/9<2$ なので、円は正方形の各辺と交わり、例えば $x=1$ 上では $y=\pm1/3$、$y=1$ 上では $x=\pm1/3$ で交わる。したがって断面は $C,D$ のどちらか一方だけに含まれる部分である。正方形の4隅にある $C$ のうち $D$ に含まれない部分と、各辺の中央から外へ出る $D$ のうち $C$ に含まれない4つの円弧部分を描く。8つの交点は両方の断面に含まれるため $R$ には含まれない。

(2) $S_x$ が空でない最小半径は、原点から平面 $x=1$ までの距離なので $r_1=1$。同様に $x,y\geq1$ の最小距離は $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$、$x,y,z\geq1$ の最小距離は $\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3$ であるから $$r_1=1,\qquad r_2=\sqrt2,\qquad r_3=\sqrt3.$$ 半径1の球は立方体 $Q$ に含まれるので $$\displaystyle V(r_1)=8-\frac{4\pi}{3}.$$ 半径 $\sqrt3$ の球は $Q$ を含むので $$\displaystyle V(r_3)=\frac43\pi(\sqrt3)^3-8=4\pi\sqrt3-8.$$

(3) $r\geq1$ のとき、$x$ を固定した $S_x$ の断面は半径 $\sqrt{r^2-x^2}$ の円盤であり、$1\leq x\leq r$。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Vol}(S_x) &=\pi\int_1^r(r^2-x^2)\,dx\\ &=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_1^r =\frac{\pi}{3}(2r^3-3r^2+1). \end{aligned}$$

(4) $0<r\leq1$ では 球 $S$ は立方体 $Q$ に含まれるので $$\displaystyle V(r)=8-\frac43\pi r^3,$$ これは $r$ とともに減少する。$1\leq r\leq\sqrt2$ では、球のうち立方体の外側にある部分は6つの面 $x=\pm1,y=\pm1,z=\pm1$ を越える球冠であり、これらの内部は互いに重ならない（$r=\sqrt2$ では接するだけである）。各球冠の体積を (3) の $\displaystyle C(r)=\frac{\pi}{3}(2r^3-3r^2+1)$ とすると、球と立方体の対称差の体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V(r)&=8-\frac43\pi r^3+12C(r)\\ &=8+\frac{20\pi}{3}r^3-12\pi r^2+4\pi. \end{aligned}$$ したがって $1\leq r\leq\sqrt2$ で $$V'(r)=4\pi r(5r-6).$$ $1<6/5<\sqrt2$ だから、$V$ は $r=6/5$ まで減少し、その後増加する。$0<r\leq1$ でも減少していたので、求める最小値を与える半径は $$\displaystyle r=\frac65.$$ このとき $\displaystyle V(6/5)=8-\frac{44\pi}{25}$。