1東京医科歯科大学 2016年 数学 第1問解答・解説

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正の約数和を、素因数ごとの約数の選び方から調べる。

(1) $n=p^2q$ では各約数は $p^i q^j\ (i=0,1,2,\ j=0,1)$ であるから $$S(n)=(1+p+p^2)(1+q).$$ 条件 $S(n)=2p^2q$ を整理すると $$\displaystyle (p^2-p-1)q=p^2+p+1,\qquad q=\frac{p^2+p+1}{p^2-p-1}.$$ $p=2$ なら $q=7$ となり、異なる素数の条件も満たす。$p=3$ なら $q=13/5$ で素数でない。$p\ge5$ では分母は正であり、分子は分母より $2p+2>0$ だけ大きい。また $$2(p^2-p-1)-(p^2+p+1)=p^2-3p-3>0$$ である（$p\ge5$ なら $p^2-3p-3\ge25-15-3=7$）。よって $1<q<2$ となり、整数の $q$ はない。従って唯一の値は $n=2^2\cdot7=28$。確認すると $S(28)=7\cdot8=56=2\cdot28$。

(2) $a=1$ なら $n=1$ で $S(n)=1\ne n+1$ だから、条件を満たす場合は $n>1$。$S(n)=n+1$ は、$n$ 自身以外の正の約数の和が1という意味である。1より大きい約数があればその約数だけで和が1を超えるので、$n$ は素数である。もし $a=uv\ (u,v>1)$ と合成数なら $$2^a-1=(2^u-1)(1+2^u+2^{2u}+\cdots+2^{(v-1)u})$$ となり、右辺の二因子はいずれも1より大きい。これは $n=2^a-1$ が素数であることに反する。従って $a$ は素数。

(3) $m=2^a-1$ とおく。$a\ge2$ なので $m\ge3$ は奇数で、$n=2^{a-1}m$ である。$m$ は奇数だから、$n$ の各正の約数は一意に $2^j d\ (0\le j\le a-1,\ d\mid m)$ と書ける。従って $$S(n)=(1+2+\cdots+2^{a-1})S(m)=(2^a-1)S(m)=mS(m).$$ 仮定と $2^a=m+1$ から $$mS(m)\le2n=2^a m=m(m+1),\quad\text{ゆえに }S(m)\le m+1.$$ 一方 $1$ と $m$ は異なる約数なので $S(m)\ge m+1$。従って $S(m)=m+1$。もし $m$ が合成数なら1と $m$ 以外の約数もあり、約数和は $m+1$ より大きくなる。よって $m=2^a-1$ は素数であり、(2)から $a$ も素数である。

$a=2$ なら $n=6$ で末尾は6。これ以外では $a$ は奇素数なので $a\equiv1$ または $3\pmod4$。2の累乗の一の位は指数を4で割った余りに応じて $2,4,8,6$ と循環する。$a\equiv1\pmod4$ なら（この場合 $a\ge5$）$2^{a-1}\equiv6$、$2^a-1\equiv1\pmod{10}$ なので $n\equiv6\pmod{10}$。$a\equiv3\pmod4$ なら $2^{a-1}\equiv4$、$2^a-1\equiv7\pmod{10}$ なので $n\equiv4\cdot7\equiv8\pmod{10}$。したがって $n$ の一の位は6または8。

採用答案2件の結論は(1) $n=28$、(2) $a$ は素数、(3) 一の位は6または8で一致する。

範囲・表示・ラベル

素因数による約数列挙、因数分解、有限等比和、合同式を使う高校範囲の解法である。一般の約数和定理は無証明で使わず、約数の一意表示から和の式を導いた。表示本文では端点、整数範囲、等号条件を明記した。

**答**

(1) $n=28$。 (2) $a$ は素数。 (3) 一の位は6または8。