1福島県立医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) 真数条件より $-\sqrt5<x<\sqrt5$, $x\ne1$。またこの範囲で $5-x>0$。底を3にそろえると $$\displaystyle \log_3\frac{5-x^2}{5-x}\ge \log_3\frac{|x-1|}{3}.$$ $\log_3$ は増加関数なので $$3(5-x^2)-(5-x)|x-1|\ge0.$$ $x<1$ では左辺は $-2(2x-5)(x+1)$。この範囲では $2x-5<0$ なので条件は $x\ge-1$。定義域との共通部分は $-1\le x<1$。$x>1$ では左辺は $-2(x+5)(x-2)$。ここでは $x+5>0$ なので条件は $x\le2$。定義域との共通部分は $1<x\le2$。従って $$\boxed{-1\le x<1\text{ または }1<x\le2}.$$

(2) $f$ は偶関数なので $u=|x|$ とおくと $$f(x)=\begin{cases}4-2u^2&(0\le u\le1),\\2u&(1\le u\le2),\\2u^2-4&(u\ge2).\end{cases}$$ 従って極小値は $a=2$、極大値は $b=4$。$2f=a+b$ は $f=3$ と同じである。第1枝から $u=1/\sqrt2$、第2枝から $u=3/2$。第3枝の候補は $u=\sqrt{7/2}<2$ となり、この枝の条件 $u\ge2$ を満たさない。ゆえに $$\displaystyle \boxed{x=\pm\frac1{\sqrt2},\quad x=\pm\frac32}.$$

(3) $\displaystyle C=\int_0^1 4^t f(t)\,dt$ とおくと元の式から $f(x)=x+C2^x$。これを $C$ の定義に代入し、$L=\ln2$ とすると $$\displaystyle C=\int_0^1t4^t\,dt+C\int_0^1 8^t\,dt =\frac{8L-3}{4L^2}+C\frac7{3L}.$$ よって $$\displaystyle \boxed{f(0)=C=\frac{3(8L-3)}{4L(3L-7)}}.$$

(4) 12個の連続する整数ごとに、3または4の倍数は $12j+3,12j+4,12j+6,12j+8,12j+9,12j+12$。その和は $72j+42$。従って $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{6n}a_i=\sum\limits _{j=0}^{n-1}(72j+42)=\boxed{36n^2+6n}.$$

(1) 真数条件は−√5<x<√5、x≠1である。定義域では5−x>0。底を3にそろえると log_3((5−x²)/(5−x)) ≧ log_3(|x−1|/3)。 log_3は増加関数なので、これは3(5−x²)−(5−x)|x−1|≧0と同値。 x<1では左辺は−2(2x−5)(x+1)。定義域内で2x−5<0だから条件はx≧−1となり、解は−1≦x<1。 x>1では左辺は−2(x+5)(x−2)。ここではx+5>0だから条件はx≦2となり、解は1<x≦2。従って解は−1≦x<1または1<x≦2。

(2) fは偶関数なのでu=|x|とおくと f(x)=4−2u² (0≦u≦1), 2u (1≦u≦2), 2u²−4 (u≧2)。 最小値はu=1で2、極大値はu=0で4。2f=6よりf=3を解く。最初の枝はu=1/√2、中央の枝はu=3/2。最後の枝からの候補u=√(7/2)は約1.87<2で、この枝の条件u≧2を満たさない。従って解はx=±1/√2, ±3/2。

(3) C=∫_0^1 4^t f(t)dtと置くと、方程式より$f(x)=x+C2^x$。これをCの定義に代入して C=∫_0^1t4^t dt+C∫_0^1 8^t dt。 L=ln2とおけば、部分積分で∫_0^1t4^t dt=(8L−3)/(4L²)、また∫_0^1 8^t dt=7/(3L)。従って C=(8L−3)/(4L²) ÷ (1−7/(3L))=3(8L−3)/(4L(3L−7))。 f(0)=Cだからこの値が答え。

(4) 12個ごとに現れる6項は12j+3,12j+4,12j+6,12j+8,12j+9,12j+12。第jブロックの和は72j+42。よって ∑_{i=1}^{6n}a_i=∑_{j=0}^{n−1}(72j+42)=36n²+6n。