4福島県立医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) 15枚から3枚を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{15}{3}=455$ 通りである。3色すべてが異なるには各色から1枚ずつ選べばよく、その選び方は $5^3=125$ 通りだから $$\displaystyle P(A)=\frac{125}{455}=\boxed{\frac{25}{91}}.$$

(2) 15枚のうち、番号が偶数のカードは各色に2枚ずつあるので6枚、奇数のカードは9枚である。3枚の番号の和が偶数となるのは、奇数カードを0枚または2枚選ぶ場合である。したがって $$\displaystyle P(B)=\frac{\binom{6}{3}+\binom{9}{2}\binom{6}{1}}{\binom{15}{3}} =\frac{20+216}{455} =\boxed{\frac{236}{455}}.$$

(3) $A\cap B$ では、色がすべて異なるように各色から1枚ずつ選び、さらに奇数カードの枚数が0枚または2枚である。3色すべてから偶数カードを選ぶ方法は $2^3=8$ 通りである。奇数カードを2色から選ぶ方法は、奇数を選ぶ2色の選択が $\displaystyle \binom{3}{2}$ 通り、各色の奇数カードの選び方が3通りずつ、残る1色の偶数カードの選び方が2通りなので $$\displaystyle \binom{3}{2}\cdot3^2\cdot2=54\text{通り}.$$ よって $A\cap B$ に該当する1回目の選び方は $8+54=62$ 通りであり、 $$\displaystyle P_B(A)=P(A\mid B) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{62/455}{236/455} =\boxed{\frac{31}{118}}.$$

(4) $A\cap B$ の1回目の選び方は、番号がすべて偶数の場合が8通り、奇数が2枚・偶数が1枚の場合が54通りである。1回目がすべて偶数なら、残りは偶数3枚・奇数9枚である。2回目に選ぶ3枚の番号の和が偶数となる選び方は $$\displaystyle \binom{3}{3}+\binom{9}{2}\binom{3}{1}=1+108=109\text{通り}.$$ 1回目に奇数2枚・偶数1枚を選んだ場合、残りは偶数5枚・奇数7枚である。このとき2回目の和が偶数となる選び方は $$\displaystyle \binom{5}{3}+\binom{7}{2}\binom{5}{1}=10+105=115\text{通り}.$$ 残り12枚からの2回目の選び方は常に $\displaystyle \binom{12}{3}=220$ 通りである。また、$A\cap B$ のもとでは該当する1回目の組合せ62通りが同じ確率で起こる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} P_{A\cap B}(C) &=\frac{8\cdot109+54\cdot115}{62\cdot220}\\ &=\frac{7082}{13640} =\boxed{\frac{3541}{6820}}. \end{aligned}$$