2山口大学 2021年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{gathered} (1) 赤3枚の位置の選び方は \binom63=20 通りで、各色の並びは同様に確からしい。交互に並ぶ色列は RBRBRB,BRBRBR の2通りである。各色のカードの番号の並べ方はどの場合も 3! 通りずつなので、 \\ P(隣り合う色がすべて異なる)=\frac2{20}=\frac1{10}. \\[4pt] (2) 番号1のカードは赤1と黒1の2枚である。この2枚の位置の組は \binom62=15 通りが同様に確からしい。隣り合う位置の組は (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6) の5通りなので、隣り合わない位置の組は 15-5=10 通り。したがって、 \\ P(番号1の2枚が隣り合わない)=\frac{10}{15}=\frac23. \\[4pt] (3) まず色を無視して番号列だけを見る。各番号が2個ずつある列の総数は \\ \frac{6!}{2!2!2!}=90. \\ 各番号列には、各番号の2つの位置に赤・黒を割り当てる方法が 2^3 通りあり、どの番号列も同数のカード順列に対応するため、番号列はこの90通りで同様に確からしい。 \\ E_i=「番号 i の2個が隣り合う」\quad(i=1,2,3) とする。1つの E_i を満たす列は、同番号2個を1つのまとまりとみれば \\ \frac{5!}{2!2!}=30 通り。2つの指定番号の組がそれぞれ隣り合う列は、2つのまとまりと残る番号2個を並べるので \frac{4!}{2!}=12 通り。3つすべてが隣り合う列は3つのまとまりを並べる 3!=6 通り。 \\ 包除原理により、どの隣り合う2枚も番号が異なる番号列の数は \\ 90-\binom31 30+\binom32 12-6=30. \\ よって求める確率は \\ P(隣り合う番号がすべて異なる)=\frac{30}{90}=\frac13. \end{gathered}$$