1山口大学 2021年 数学 第1問解答・解説

(1) 10以上100以下の3の倍数は、初項12、末項99、公差3の等差数列である。項数は $$\displaystyle \frac{99-12}{3}+1=30$$ だから、その和は $$\displaystyle \frac{(12+99)\cdot30}{2}=1665.$$

(2) $3m<12$なら該当する数はなく、和は3657にならない。したがって$m\geq4$であり、該当する数列は$12,15,\ldots,3m$である。項数は$m-3$なので、 $$\displaystyle \frac{(12+3m)(m-3)}{2}=3657$$ より $$(m+4)(m-3)=2438,\qquad m^2+m-2450=0.$$ よって $$(m-49)(m+50)=0.$$ mは自然数だからm=49である。

(3) 与えられた和は2538>0だから$n\geq6$。xが18以上3n以下で$\gcd(x,15)=3$であるとする。xは3の倍数なので$x=3k$（$6\leq k\leq n$）と書ける。このとき $$\gcd(3k,15)=3\gcd(k,5)$$ であるから、条件は$5\nmid k$と同値である。$q=\lfloor n/5\rfloor$とおくと、5の倍数に当たるk=5j（j=2,$\ldots$,q）を除いて $$\displaystyle S(n)=3\sum\limits _{k=6}^{n}k-15\sum\limits _{j=2}^{q}j =\frac{3}{2}\left(n(n+1)-5q(q+1)-20\right).$$ S(n)=2538より $$n(n+1)-5q(q+1)=1712.$$ $q\leq8$なら$n\leq5q+4$であり、 $$n(n+1)-5q(q+1)\leq(5q+4)(5q+5)-5q(q+1)=20(q+1)^2\leq1620.$$ $q\geq10$なら$n\geq5q$であり、 $$n(n+1)-5q(q+1)\geq(5q)(5q+1)-5q(q+1)=20q^2\geq2000.$$ いずれも1712にならないので$q=9$。したがって $$n(n+1)=1712+5\cdot9\cdot10=2162,$$ $$n^2+n-2162=0,\qquad (n-46)(n+47)=0.$$ $n$ は自然数だから $n=46$。実際、3$\displaystyle \sum\limits _{k=6}^{46}$k-15$\displaystyle \sum\limits _{j=2}^{9}$j=3198-660=2538である。