1獨協医科大学 2023年 2日目 数学 第1問解答・解説

(1) 長方形の周の長さは $2(30+10)=80\,\mathrm{cm}$ である。点Pは毎秒 $5\,\mathrm{cm}$ で進むから、1周に $80/5=16$ 秒かかる。DからCまでの距離は $30\,\mathrm{cm}$ なので、最初にCに着くのは $30/5=6$ 秒後である。したがって、Pが $x$ 回目にCに着く時刻は $$6+16(x-1)=16x-10\quad(\text{秒}).$$ 点Qは時刻4秒にAを出発し、AからB、BからCまでの距離は $30+10=40\,\mathrm{cm}$ だから、最初にCに着く時刻は $4+40/4=14$ 秒である。Qの1周の時間は $80/4=20$ 秒なので、Qが $y$ 回目にCに着く時刻は $$14+20(y-1)=20y-6\quad(\text{秒}).$$

(2) Cで互いにすれ違うときは、PとQが同時にCに到着する。よって $$16a-10=20b-6 \quad\text{すなわち}\quad 4a-5b=1.$$

(3) $4a-5b=1$ を5で割った余りで考えると $4a\equiv1\pmod 5$ だから、$a\equiv4\pmod5$。したがって $a=4+5n$ とおけて、これを元の式に代入すると $b=3+4n$ となる。$a,b$ は到着回数なので正の整数であり、可能な組は $n=0,1,2,\ldots$ に対する $(a,b)=(4+5n,3+4n)$ である。$n=0$ が最初のすれ違いなので、その時刻は $$16\cdot4-10=54\quad(\text{秒}).$$ 6回目は $n=5$、すなわち $(a,b)=(29,23)$ のときであり、その時刻は $$16\cdot29-10=454\quad(\text{秒}).$$ 隣り合うすれ違いの時刻の差は、整数解の列で $a$ が次に進むと5増えるから $16\cdot5=80$ 秒である。この間にPは $5\cdot80=400\,\mathrm{cm}$ 進むので、周長80cmの長方形を5周する。Qは $4\cdot80=320\,\mathrm{cm}$ 進むので4周する。したがって、それぞれ5周、4周するたびにCですれ違う。

検算 1回目の時刻54秒にQの到着回数を調べると $20b-6=54$ より $b=3$ で、両者がCに着く時刻は一致する。次のすれ違いでは $(a,b)=(9,7)$ となり、時刻は $16\cdot9-10=134$、$20\cdot7-6=134$ 秒で、差は80秒である。よって6回目の時刻も $54+5\cdot80=454$ 秒と確認できる。