2獨協医科大学 2023年 2日目 数学 第2問解答・解説

(1) $b_n=\log_2 a_n$ とすると、条件は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n b_k=-2n^3+49+2b_n$$ である。これを $n+1$ の式から $n$ の式を引くと $$b_{n+1}=-2\{(n+1)^3-n^3\}+2(b_{n+1}-b_n),$$ したがって $$b_{n+1}=2b_n+6n^2+6n+2. \tag{1}$$ また、$n=1$ を元の条件に代入すると $b_1=-2+49+2b_1$ より $b_1=-47$ である。

$f(n)=\alpha n^2+\beta n+\gamma$ が (1) と同じ形の漸化式 $$f(n+1)=2f(n)+6n^2+6n+2$$ を満たすように係数を比較する。左辺は $\alpha n^2+(2\alpha+\beta)n+(\alpha+\beta+\gamma)$、右辺は $(2\alpha+6)n^2+(2\beta+6)n+(2\gamma+2)$ なので、 $$\alpha=-6,\qquad \beta=-18,\qquad \gamma=-26.$$ このとき $b_n-f(n)$ は初項 $b_1-f(1)=-47-(-50)=3$、公比2の等比数列である。よって $$b_n=3\cdot2^{n-1}-6n^2-18n-26.$$

(2) 隣り合う項の差をとると $$b_{n+1}-b_n=3\cdot2^{n-1}-12n-24.$$ $n=1,2,3,4,5$ ではこの値はそれぞれ $-33,-42,-48,-48,-36$ であり、$n=6$ では0、$n=7$ では84である。また、この差の次の項との差は $$(b_{n+2}-b_{n+1})-(b_{n+1}-b_n)=3\cdot2^{n-1}-12>0\quad(n\ge4)$$ だから、$n\ge7$ では隣接差は正であり続ける。したがって $b_n$ の最小値は $n=6,7$ でとる。 $$b_6=3\cdot2^5-6\cdot6^2-18\cdot6-26=-254, \qquad b_7=3\cdot2^6-6\cdot7^2-18\cdot7-26=-254.$$ $a_n=2^{b_n}$ であり、底2の指数関数は増加するから、$a_n$ の最小値は $2^{-254}$ である。

与えられた常用対数を使うと $$2^{-254}\approx10^{-254\cdot0.3010}=10^{-76.454}=10^{0.546}\cdot10^{-77}.$$ さらに $\log_{10}3\approx0.4771<0.546<0.6020\approx\log_{10}4$ なので、$3<10^{0.546}<4$。従って $2^{-254}$ は $3$ と $4$ の間の数に $10^{-77}$ を掛けたものであり、小数第77位に初めて0でない数字3が現れる。

検算 漸化式の隣接差は $n=6$ で0なので $b_6=b_7$、$n=7$ で正なのでその後増加する。これより最小を与える添字が6,7の2つであることを再確認できる。