I慶應義塾大学 2022年 数学 第I問解答・解説

(1) 絶対値の中身が変わる点 $-1,0,1$ と、右辺が非負となる条件 $x\ge-2$ を考え、区間ごとに解く。 $$\displaystyle \begin{array}{ll} x\le-1:&4(-x-1)=x+2\text{より} x=-\frac65,\\ -1\le x\le0:&4(x+1)=x+2\text{より} x=-\frac23,\\ 0\le x\le1:&4(1-x)=x+2\text{より} x=\frac25,\\ x\ge1:&4(x-1)=x+2\text{より} x=2. \end{array}$$ それぞれが仮定した区間に入るので、解は $\displaystyle -\frac65,-\frac23,\frac25,2$ である。

(2) 因数分解すると $$(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) =(x+1)(x^4+x^2+1)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1.$$ 各因数は整数係数で、次数はそれぞれ1,2,2、最高次係数はいずれも1である。

(3) $f$ の対数の真数が正であるためには $$x^2(3x-2)>0,$$ すなわち $\displaystyle x>\frac23$。一方、$g$ の真数条件は $3x^2-2>0$、つまり $\displaystyle x< -\sqrt{\frac23}$ または $\displaystyle x>\sqrt{\frac23}$。両方を満たすのは $$\displaystyle A\cap B=\left\{x\mid x>\sqrt{\frac23}\right\}.$$ ここでは $x>0$ なので、対数の底の変換により $$\displaystyle f(x)+g(x)=-\frac12\log_3\{x^2(3x-2)\}+\frac12\log_3(3x^2-2) =\frac12\log_3\frac{3x^2-2}{x^2(3x-2)}.$$ 底3は1より大きく、分母・分子も正であるから、これが負となる条件は $$3x^2-2<x^2(3x-2) \quad\text{すなわち}\quad 3x^3-5x^2+2>0.$$ 左辺は $$3x^3-5x^2+2=(x-1)(3x^2-2x-2) =(x-1)(3x-1-\sqrt7)(3x-1+\sqrt7)/3$$ と因数分解できる。二次式の根は $\displaystyle \frac{1-\sqrt7}{3}<0$ と $\displaystyle \frac{1+\sqrt7}{3}$ である。定義域 $x>\sqrt{2/3}$ 上で符号を調べると $$\displaystyle \sqrt{\frac23}<x<1\quad\text{または}\quad x>\frac{1+\sqrt7}{3}.$$

(4) $f_n\circ f_1=f_{n+1}$ より $$f_n(\alpha x+\beta)=a_n\alpha x+a_n\beta+b_n =a_{n+1}x+b_{n+1}.$$ 係数を比較して $$a_{n+1}=\alpha a_n,\qquad b_{n+1}=b_n+\beta a_n.$$ 初項 $a_1=\alpha$ だから $a_n=\alpha^n$。また $b_1=\beta$ であり、 $$\displaystyle b_n=\beta+\beta\sum\limits _{j=1}^{n-1}\alpha^j =\beta+\beta\frac{\alpha(\alpha^{n-1}-1)}{\alpha-1} =\beta\frac{\alpha^n-1}{\alpha-1},$$ ここで $\alpha\ne1$ を用いた。 検算 (1) の各根を元の式に代入すると両辺が等しい。(2) を展開すると各次数の係数がすべて1となる。(4) の一般項は $n=1$ で $a_1=\alpha,b_1=\beta$ を与え、導いた係数漸化式も満たす。