III慶應義塾大学 2022年 数学 第III問解答・解説

(1) 点 $T$ を原点とみなすと，回転前のベクトルは $(x-s,y-t)$ である。これを反時計回りに $\alpha$ 回転し，最後に $T$ を戻せば $$x'=s+(x-s)\cos\alpha-(y-t)\sin\alpha,\quad y'=t+(x-s)\sin\alpha+(y-t)\cos\alpha.$$

(2) 接点が $C$ 上を $\beta$ だけ反時計回りに進むと，中心 $B$ は半径 $a/2$ の円周上を同じ角だけ進む。接線方向の速度は，中心移動による $a/2$ と中心周りの回転による $(a/2)\,d\omega/d\beta$ の和である。接点で滑らないので $0=a/2+(a/2)\,d\omega/d\beta$，従って円 $K$ 自身の実際の向きは時計回りに $\beta$ 変化する。一方，原点周りに反時計回りに $\beta$ 回す操作は向きを $+\beta$ 変えるので，先に中心 $B$ 周りに時計回りに $2\beta$ 回しておけば合成後の向きは $-\beta$ となる。よって (う) は時計回り，(え) は $2\beta$，(お) は反時計回り，(か) は $\beta$。

(3) 初めの中心 $B=(a/2,0)$ から $Q$ へのベクトルは $(b-a/2,0)$ である。(2) の後は中心が

$((a/2)\cos\beta,(a/2)\sin\beta)$ に移り，相対ベクトルの向きは $-2\beta+\beta=-\beta$ になる。したがって $$\displaystyle (x,y)=\left(\frac a2\cos\beta,\frac a2\sin\beta\right) +(b-\frac a2)(\cos\beta,-\sin\beta) =(b\cos\beta,(a-b)\sin\beta).$$ $0\le\beta\le2\pi$ なので $$\displaystyle \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{(a-b)^2} =\cos^2\beta+\sin^2\beta=1.$$

(4) 接点が円 $K$ 上を反時計回りに $\phi$ 進むとする。円 $C$ の中心は $$\displaystyle O_\phi=\left(\frac a2(1-\cos\phi),-\frac a2\sin\phi\right)$$ に移り，滑らない条件から円 $C$ の向きは反時計回りに $\phi/2$ 変化する。$t=\phi/2$ とすると，点 $R$ の座標は $$x=a\sin t(\sin t-1),\qquad y=a\cos t(1-\sin t).$$ $x=0$ は $\sin t=0$ または $1$ のときで，後者では $R=(0,0)$，前者で $t=\pi$ では $R=(0,-a)$。初めて $R=(0,a)$ に戻るのは $t=2\pi$，すなわち $\phi=4\pi$ のときで，接点は円 $K$ を2回転する。 $0\le t\le2\pi$ では $r=\sqrt{x^2+y^2}=a(1-\sin t)$。また $\theta=t+\pi/2$ とおけるから $\cos\theta=-\sin t$ であり，極方程式は $r=a(1+\cos\theta)$ となる。