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藤田医科大学／2021年度／前期

藤田医科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

二次関数データの分析いろいろな式図形と方程式指数関数・対数関数三角関数微分・積分の考え微分法図形の性質数学と人間の活動（整数）数列ベクトル平面上の曲線と複素数平面

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1問題

藤田医科大学2021年度第1問

次の問いに答えよ。

(1) 5つの整数からなるデータ −14, 16, 21, a, b-14,\ 16,\ 21,\ a,\ b の平均が5，分散が164，a<ba<b のとき，a=アイa=\boxed{\text{アイ}} である。

(2) 任意の実数 θ\theta で sin⁡θ+3cos⁡θ=2cos⁡(θ+aπ)\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\cos(\theta+a\pi) が成り立つとき，a=ウエオ\displaystyle a=\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}} である。ただし，−1≦a<1-1\leq a<1 とする。

(3) 実数 x,yx,y について 5000x=2000y=105000^x=2000^y=\sqrt{10} が成り立つとき，1x+1y=カキ\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\boxed{\text{カキ}} である。

(4) 関数 f(x)=x+x2−9f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^2-9}} の x=5x=5 における微分係数は クケ\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}} である。

(5) 関数 f(x)=3x2+x∫02f(t) dt+a\displaystyle f(x)=3x^2+x\int_0^2 f(t)\,dt+a が f(2)=0f(2)=0 を満たすとき，a=コサシ\displaystyle a=\frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}} である。

(6) 分母が3の累乗で，0より大きく1より小さい既約分数を並べた数列 13, 23, 19, 29, 49, 59, 79, 89, 127, 227, 427, …\displaystyle \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{9},\ \frac{2}{9},\ \frac{4}{9},\ \frac{5}{9},\ \frac{7}{9},\ \frac{8}{9},\ \frac{1}{27},\ \frac{2}{27},\ \frac{4}{27},\ \dots について，第スセソ\boxed{\text{スセソ}}項は 728729\displaystyle \frac{728}{729} であり，初項から第スセソ\boxed{\text{スセソ}}項までの和は タチツ\boxed{\text{タチツ}} である。

(7) △ABC\triangle ABC において AB=36, AC=28, BC=48AB=36,\ AC=28,\ BC=48，∠BAC\angle BAC の二等分線と辺 BCBC の交点を DD とすると，BD=テト, AD=ナニBD=\boxed{\text{テト}},\ AD=\boxed{\text{ナニ}} である。

(8) ベクトル a⃗=(56,−33), b⃗=(12,5)\vec{a}=(56,-33),\ \vec{b}=(12,5) がある。∣a⃗+tb⃗∣\lvert\vec{a}+t\vec{b}\rvert は t=ヌネt=\boxed{\text{ヌネ}} のとき最小値 ノハ\boxed{\text{ノハ}} をとる。

(9) 2つの実数 x,yx,y が (2+−779)2021=x+y−779\displaystyle \left(\frac{2+\sqrt{-77}}{9}\right)^{2021}=\frac{x+y\sqrt{-77}}{9} を満たすとき，x2+77y2=ヒフx^2+77y^2=\boxed{\text{ヒフ}} である。

(10) 実数 kk に対して3次方程式 x3+(4−k)x2+(k+13)x+15−3k=0x^3+(4-k)x^2+(k+13)x+15-3k=0 が異なる3つの整数解 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma を持ち，2β=α+γ2\beta=\alpha+\gamma のとき，k=ヘホk=\boxed{\text{ヘホ}} である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)a=−4,(2)a=−16(3)14,(4)38(5)a=−43(6)項番号=728,初項から第728項までの和=364(7)BD=27, AD=21,(8)t=−3, min⁡=52(9)81,(10)k=13\displaystyle \begin{gathered} \text{(1)}\quad a=-4,\qquad \text{(2)}\quad a=-\frac16\\ \text{(3)}\quad 14,\qquad \text{(4)}\quad \frac38\\ \text{(5)}\quad a=-\frac43\\ \text{(6)}\quad \text{項番号}=728,\quad \text{初項から第728項までの和}=364\\ \text{(7)}\quad BD=27,\space{}AD=21,\qquad \text{(8)}\quad t=-3,\space{}\min=52\\ \text{(9)}\quad 81,\qquad \text{(10)}\quad k=13 \end{gathered}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 平均が5なので、a+b=2a+b=2。分散の式より (a−5)2+(b−5)2=5⋅164−((−14−5)2+(16−5)2+(21−5)2)=82.(a-5)^2+(b-5)^2=5\cdot164-((-14-5)^2+(16-5)^2+(21-5)^2)=82. また (a−5)+(b−5)=−8(a-5)+(b-5)=-8。したがって (a−5)(b−5)=(−8)2−822=−9\displaystyle (a-5)(b-5)=\frac{(-8)^2-82}{2}=-9 であり、a−5a-5 と b−5b-5 は 11 と −9-9。a<ba<b より a=−4a=-4。

(2) 右辺を展開して sin⁡θ\sin\theta, cos⁡θ\cos\theta の係数を比べると −2sin⁡(aπ)=1,2cos⁡(aπ)=3.-2\sin(a\pi)=1,\qquad 2\cos(a\pi)=\sqrt3. よって aπ=−π6+2mπ\displaystyle a\pi=-\frac{\pi}{6}+2m\pi。条件 −1≦a<1-1\le a<1 から a=−16\displaystyle a=-\frac16。

(3) 対数の底を 10\sqrt{10} とすると 1x=log⁡105000,1y=log⁡102000.\displaystyle \frac1x=\log_{\sqrt{10}}5000,\qquad \frac1y=\log_{\sqrt{10}}2000. したがって 1x+1y=log⁡10(5000⋅2000)=log⁡101/2107=14.\displaystyle \frac1x+\frac1y=\log_{\sqrt{10}}(5000\cdot2000)=\log_{10^{1/2}}10^7=14.

(4) 合成関数の微分により f′(x)=1+xx2−92x+x2−9.\displaystyle f'(x)=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-9}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2-9}}}. x=5 では 25−9=4,5+4=3\sqrt{25-9}=4,\quad\sqrt{5+4}=3 なので f′(5)=1+5/42⋅3=38.\displaystyle f'(5)=\frac{1+5/4}{2\cdot3}=\frac38.

(5) I=∫02f(t) dt\displaystyle I=\int_0^2 f(t)\,dt とおくと、与式を積分して I=∫02(3t2+tI+a) dt=8+2I+2a,\displaystyle I=\int_0^2(3t^2+tI+a)\,dt=8+2I+2a, したがって I=−8−2aI=-8-2a。f(2)=12+2I+a=0f(2)=12+2I+a=0 を代入すると −4−3a=0-4-3a=0 より a=−43\displaystyle a=-\frac43。

(6) 分母 3j3^j の群には、分子が3の倍数でない数が 2⋅3j−12\cdot3^{j-1} 個ある。分母 313^1 から 353^5 までの項数は 2+6+18+54+162=242.2+6+18+54+162=242. 分母 36=7293^6=729 の群で 728728 は最後の分子なので、その群の 486486 番目。よって項番号は 242+486=728242+486=728。 同じ群の分子 kk と 3j−k3^j-k は対になり、対応する分数の和は 11。したがって分母 3j3^j の群全体の和は 3j−13^{j-1}。第728728項までの和は 1+3+9+27+81+243=364.1+3+9+27+81+243=364.

(7) 角の二等分線の定理から BD:DC=AB:AC=36:28=9:7,BD:DC=AB:AC=36:28=9:7, よって BD=48⋅916=27\displaystyle 48\cdot\frac9{16}=27, DC=21DC=21。BCをxx軸上にとり、B=(0,0),C=(48,0)B=(0,0),\quad C=(48,0) とする。このとき D=(27,0)D=(27,0) である。A=(u,v)A=(u,v) とおくと、AB=36,AC=28AB=36,\quad AC=28 より u2+v2=362,(u−48)2+v2=282.u^2+v^2=36^2,\qquad (u-48)^2+v^2=28^2. 差をとると 96u−2304=51296u-2304=512、したがって u=883\displaystyle u=\frac{88}3。ゆえに v2=362−(883)2=39209,\displaystyle v^2=36^2-\left(\frac{88}3\right)^2=\frac{3920}9, よって AD2=(883−27)2+39209=441.\displaystyle AD^2=\left(\frac{88}3-27\right)^2+\frac{3920}9=441. AD>0AD>0 なので AD=21AD=21。

(8) ∣a⃗+tb⃗∣2\left|\vec a+t\vec b\right|^2 は t の二次式で、その最小は a⃗+tb⃗\vec a+t\vec b が b⃗\vec b と垂直なときにとる。 t=−a⃗⋅b⃗∣b⃗∣2=−56⋅12−33⋅5122+52=−3.\displaystyle t=-\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2}=-\frac{56\cdot12-33\cdot5}{12^2+5^2}=-3. このとき a⃗−3b⃗=(20,−48)\vec a-3\vec b=(20,-48) なので最小値は 202+482=52\sqrt{20^2+48^2}=52。

(9) z=2+−779\displaystyle z=\frac{2+\sqrt{-77}}9 とおくと ∣z∣2=22+7792=1.\displaystyle |z|^2=\frac{2^2+77}{9^2}=1. したがって ∣z2021∣2=1|z^{2021}|^2=1。一方、右辺の絶対値の二乗は x2+77y281\displaystyle \frac{x^2+77y^2}{81} なので x2+77y2=81x^2+77y^2=81。

(10) 2β=α+γ2\beta=\alpha+\gamma より、整数 m,d (d≠0)(d\ne0) を用いて α=m−d,β=m,γ=m+d\alpha=m-d,\quad\beta=m,\quad\gamma=m+d とおける。解と係数の関係より 3m=k−4,3m2−d2=k+13,m(m2−d2)=3k−15.3m=k-4,\qquad 3m^2-d^2=k+13,\qquad m(m^2-d^2)=3k-15. 最初の式から k=3m+4k=3m+4。これを代入すると d2=3m2−3m−17d^2=3m^2-3m-17 であり、積の式は −2m3+3m2+8m+3=0,(m−3)(2m+1)(m+1)=0.-2m^3+3m^2+8m+3=0, \quad (m-3)(2m+1)(m+1)=0. m は整数なので m=3m=3 または m=−1m=-1。m=−1m=-1 では d2=−11d^2=-11 となり不可能。m=3m=3 なら d2=1d^2=1 で根は 2,3,42,3,4、条件を満たす。したがって k=3⋅3+4=13k=3\cdot3+4=13。

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