2産業医科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

産業医科大学 2021年度一般・第2問

解答

オ：3点を通る二次関数

二次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおく。与えられた3点を代入すると $$a-b+c=8,\qquad a+b+c=6,\qquad 9a+3b+c=20.$$ 前2式の差より $b=-1$。これを第2式に入れると $a+c=7$、第3式に入れると $9a+c=23$。差を取って $8a=16$ だから $a=2$、従って $c=5$ である。 $$\boxed{\text{オ}=2x^2-x+5}.$$

カ：最大公約数と和

$\gcd(a,b)=24$ より $a=24u,\ b=24v$ と書くと、$\gcd(u,v)=1$ である。和の条件は $$\displaystyle u+v=\frac{96}{24}=4,\qquad u\le v.$$ 正の整数の組は $(1,3)$ と $(2,2)$ だが、後者は互いに素でない。したがって $$\boxed{\text{カ}=(24,72)}.$$

キ・ク：$6^{170}$ の桁数と最高位

与えられた対数から $$\log_{10}(6^{170}) =170(\log_{10}2+\log_{10}3) =170(0.7781)=132.277.$$ 従って $10^{132}<6^{170}<10^{133}$ であり、桁数は $$\boxed{\text{キ}=133}.$$ さらに $$6^{170}=10^{132}\cdot10^{0.277},\qquad 0<0.277<0.3010=\log_{10}2.$$ よって $1<10^{0.277}<2$ であり、最高位の数字は $$\boxed{\text{ク}=1}.$$

ケ：分数列の第1000項

分母が $2j+1$ の項は、分子が1から $j+1$ までなので $j+1$ 個である。分母1から分母 $2m+1$ までの項数は $$\displaystyle 1+2+\cdots+(m+1)=\frac{(m+1)(m+2)}{2}.$$ 分母87まで（$m=43$）では $$\displaystyle \frac{44\cdot45}{2}=990$$ 項であり、分母89のブロックで第1000項に達する。そこでは10番目の項だから $$\displaystyle \boxed{\text{ケ}=\frac{10}{89}}.$$

コ：複素数平面上の距離

2点の差の絶対値を計算すると $$\left|(3-i)-(-2+4i)\right| =|5-5i| =\sqrt{5^2+(-5)^2} =5\sqrt2.$$ したがって $$\boxed{\text{コ}=5\sqrt2}.$$

サ：直線が切り取る弦の長さ

交点の $x$ 座標は $$x^2+5x-3=2x+f \text{すなわち} x^2+3x-(3+f)=0$$ の2解である。判別式を $D$ とすると $$D=3^2-4\{-(3+f)\}=21+4f.$$ 2解を $x_1,x_2$ とすれば $|x_1-x_2|=\sqrt D$。直線の傾きが2なので、交点間の距離は $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+\{2(x_1-x_2)\}^2} =\sqrt5\,\sqrt D.$$ これが5であるから $D=5$、従って $$21+4f=5\text{すなわち} \boxed{\text{サ}=-4}.$$

シ：2回目と8回目に原点にいる確率

2回目の投げ終わりに原点に戻るには、最初の2回の表裏が異なる必要があり、その確率は $2/2^2=1/2$ である。その後8回目に再び原点にいるには、残り6回で正負の移動が3回ずつ必要である。その確率は $$\displaystyle \frac{\binom63}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac5{16}.$$ 前半と後半の投げ方は独立なので $$\displaystyle \boxed{\text{シ}=\frac12\cdot\frac5{16}=\frac5{32}}.$$

ス：第一象限での最小値

平方完成すると $$f(x,y)=3(x-y+2)^2+2y(2y-1).$$ まず $0\le y\le2$ では、$x\ge0$ に対して $x-y+2\ge0$ であり、$x$ について最小となるのは $x=0$ である。このとき $$f(0,y)=7(y-1)^2+5\ge5,$$ 等号は $y=1$ で成り立つ。

次に $y\ge2$ では、平方項を最小にする $x=y-2\ge0$ が許され、そのとき $$f(y-2,y)=2y(2y-1),\qquad 2y(2y-1)-12=2(2y+3)(y-2)\ge0,$$ だから最小でも12であり、5を下回らない。 従って全領域での最小値は $$\boxed{\text{ス}=5}$$ であり、$(x,y)=(0,1)$ でとる。

セ・ソ：点Pの軌跡

$$\boldsymbol d=\overrightarrow{AB},\qquad \boldsymbol u=\overrightarrow{AP}$$ とおくと、$\overrightarrow{BP}=\boldsymbol u-\boldsymbol d$ である。与式に代入して整理すると $$\begin{aligned} 2|\boldsymbol d|^2 +9\boldsymbol u\cdot(\boldsymbol u-\boldsymbol d) &=3\boldsymbol d\cdot\{\boldsymbol u+2(\boldsymbol u-\boldsymbol d)\},\\ 9|\boldsymbol u|^2-18\boldsymbol u\cdot\boldsymbol d +8|\boldsymbol d|^2&=0,\\ 9|\boldsymbol u-\boldsymbol d|^2-|\boldsymbol d|^2&=0. \end{aligned}$$ ここで $\boldsymbol u-\boldsymbol d=\overrightarrow{BP}$ だから $$\displaystyle |\overrightarrow{BP}|=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{3}.$$ よって軌跡は $$\displaystyle \boxed{\text{セ}=B\text{ を中心とし、}\quad \text{ソ}=\frac{|AB|}{3}\text{ を半径とする円}}$$ である。

タ：複素数の6乗

分母の共役複素数を掛けると $$\displaystyle \begin{aligned} z &=\frac{(1+\sqrt3 i)(\sqrt3-i)}{(\sqrt3+i)(\sqrt3-i)}\\ &=\frac{2\sqrt3+2i}{4} =\frac{\sqrt3+i}{2} =\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}. \end{aligned}$$ ド・モアブルの定理より $$z^6=\cos\pi+i\sin\pi=-1,$$ 従って $$\boxed{\text{タ}=-1}.$$

最終答案

$$\boxed{\text{オ}=2x^2-x+5}$$ $$\boxed{\text{カ}=(24,72)}$$ $$\boxed{\text{キ}=133,\ \text{ク}=1}$$ $$\displaystyle \boxed{\text{ケ}=\frac{10}{89}}$$ $$\boxed{\text{コ}=5\sqrt2}$$ $$\boxed{\text{サ}=-4}$$ $$\displaystyle \boxed{\text{シ}=\frac5{32}}$$ $$\boxed{\text{ス}=5}$$ $$\displaystyle \boxed{\text{セ}=B,\ \text{ソ}=\frac{|AB|}{3}}$$ $$\boxed{\text{タ}=-1}.$$

使用した解法

連立一次方程式、最大公約数による約数化、常用対数による桁数判定、数列の項数計算、複素数の絶対値、二次方程式の判別式と弦長、硬貨列の組合せ、平方完成、ベクトルの内積、ド・モアブルの定理を用いた。