3産業医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1)

絶対値を付ける前の式を平方完成すると $$x^2-4x+1=(x-2)^2-3.$$ 内側の放物線 $y=x^2-4x+1$ の頂点は $(2,-3)$ である。絶対値を取ると負の部分が $x$ 軸に関して反転し、中央の部分は $$y=3-(x-2)^2$$ となる。したがって、表示された絶対値グラフの中央の折返し点（中央の頂点）は $$\boxed{(2,3)}$$ である。なお、グラフの最小点は $(2-\sqrt3,0)$、$(2+\sqrt3,0)$ である。

(2)

$t=x-2$ とおくと、曲線は $y=|t^2-3|$ となる。$f=9$ では交点は $t^2-3=9$ を満たし、$t=\pm2\sqrt3$ である。また $$|t^2-3|= \begin{cases} 3-t^2 &(0\le t\le\sqrt3),\\ t^2-3 &(\sqrt3\le t\le2\sqrt3). \end{cases}$$ 対称性より囲み面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S &=2\left\{\int_0^{\sqrt3}\bigl(9-(3-t^2)\bigr)\,dt +\int_{\sqrt3}^{2\sqrt3}\bigl(9-(t^2-3)\bigr)\,dt\right\}\\ &=2\left\{\int_0^{\sqrt3}(6+t^2)\,dt +\int_{\sqrt3}^{2\sqrt3}(12-t^2)\,dt\right\}\\ &=2(7\sqrt3+5\sqrt3)=24\sqrt3. \end{aligned}$$ よって $$\boxed{S=24\sqrt3}.$$

(3)

$t=x-2$ とおき、$g(t)=|t^2-3|$ とする。囲み領域ができるには $f\ge0$ が必要である。

$0\le f\le3$ では、交点の $t$ 座標は $\pm r,\pm R$ である。ただし $$r=\sqrt{3-f},\qquad R=\sqrt{3+f}$$ とおき、$f=0,3$ では重なる交点を一つと数える。$t=\sqrt3$ は絶対値による折返しの境界であり、積分を分ける点である。左右対称性により、全ての囲み部分の面積の合計は $$\displaystyle S(f)=2\left\{ \int_0^r(3-t^2-f)\,dt +\int_r^{\sqrt3}(f-3+t^2)\,dt +\int_{\sqrt3}^{R}(f+3-t^2)\,dt \right\}.$$ 各積分を原始関数で計算し、$r^2=3-f,\ R^2=3+f$ を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} S(f)&=2\left\{\left[(3-f)t-\frac{t^3}{3}\right]_0^r +\left[(f-3)t+\frac{t^3}{3}\right]_r^{\sqrt3} +\left[(f+3)t-\frac{t^3}{3}\right]_{\sqrt3}^{R}\right\}\\ &=\frac43(3+f)^{3/2}+\frac83(3-f)^{3/2}-8\sqrt3. \end{aligned}$$ この式を合成関数の微分法で微分すると、$0<f<3$ で $$S'(f)=2\sqrt{3+f}-4\sqrt{3-f} =2\bigl(\sqrt{3+f}-2\sqrt{3-f}\bigr).$$ 平方根はいずれも非負なので、$S'(f)=0$ は $$\displaystyle 3+f=4(3-f)\quad\text{すなわち}\quad f=\frac95$$ と同値である。さらに $0<f<9/5$ では $3+f<4(3-f)$ より $S'(f)<0$、$9/5<f<3$ では $S'(f)>0$。

$f\ge3$ では最も外側の交点は $t=\pm\sqrt{f+3}$ であり、その二点の間では曲線が直線以下となる。$f=3$ では $t=0$ でも接する。この場合 $$\displaystyle S(f)=2\left\{ \int_0^{\sqrt3}(f-3+t^2)\,dt +\int_{\sqrt3}^{\sqrt{f+3}}(f+3-t^2)\,dt \right\},$$ 原始関数で計算すると $$\displaystyle \begin{aligned} S(f)&=2\left\{\left[(f-3)t+\frac{t^3}{3}\right]_0^{\sqrt3} +\left[(f+3)t-\frac{t^3}{3}\right]_{\sqrt3}^{\sqrt{f+3}}\right\}\\ &=\frac43(f+3)^{3/2}-8\sqrt3. \end{aligned}$$ したがって $f>3$ では $$S'(f)=2\sqrt{f+3}>0.$$ 二つの面積の式は $f=3$ で一致し、$S(f)$ は $f\ge0$ で連続である。以上より面積は $f=9/5$ で最小となる。 $$\displaystyle \boxed{f=\frac95}.$$

最終答案

絶対値グラフの中央の折返し点は $\boxed{(2,3)}$（内側の放物線の頂点は $(2,-3)$）。また $$\displaystyle \boxed{S\bigm|_{f=9}=24\sqrt3},\qquad \boxed{S\text{ が最小となる }f=\frac95}.$$

使用した解法

平方完成と絶対値によるグラフの反転、対称性を用いた定積分、交点区間ごとの場合分けと面積関数の微分を用いた。