I順天堂大学 2016年 数学 第I問解答・解説

(1) 正六面体の向かい合う面を $\{\pm X\},\{\pm Y\},\{\pm Z\}$ とし、赤・青・黄を異なる色として、回転で一致する塗り方だけを同一視する。

赤・青の2色について、1面・5面では1面だけに塗る色が赤か青かの2通りである。2面・4面では2面だけに塗る色が2通りで、その2面が隣接するか向かい合うかの2通りだから $2\cdot2=4$ 通りである。3面・3面では赤の3面に向かい合う1組が含まれるか否かの2通りである。よって $(\text{ア},\text{イ},\text{ウ},\text{エ})=(2,4,2,8)$ である。

3色について、1面・1面・4面では4面に塗る色が3通り、残る異色の2面が隣接するか向かい合うかが2通りだから $3\cdot2=6$ 通りである。1面・2面・3面では各面数を受け持つ色の選び方が $3!=6$ 通りある。1面の色を上面に固定すると、2面の色は「下面と側面」「隣接する側面2枚」「向かい合う側面2枚」の3種類だから $6\cdot3=18$ 通りである。

各色2面ずつの場合、3色とも向かい合う2面に塗るものは1通り、ちょうど1色だけが向かい合う2面に塗られるものはその色の選択で3通りである。どの色も向かい合う2面に塗られない場合は次の2通りになる。赤の隣接2面を $+X,+Y$ に固定すると、残りは $-X,-Y,+Z,-Z$ であり、青の隣接2面は $(-X,+Z),(-X,-Z),(-Y,+Z),(-Y,-Z)$ の4候補である。残る2面は黄の隣接2面となる。赤の2面を保つ回転のうち、何も動かさないものを除けば、$X,Y$ を入れ替えて $Z$ の符号を逆にする半回転だけであり、4候補を2組ずつにまとめる。したがって鏡像の2配置は回転で一致せず、この場合は2通りである。各色2面ずつは $1+3+2=6$ 通り、3色の合計は $6+18+6=30$ 通り。よって $(\text{オ},\text{カキ},\text{ク},\text{ケコ})=(6,18,6,30)$ である。

(2) 正 $n$ 角形の1辺を $\displaystyle s=\frac{l}{n}$ とする。糸の端が各頂点を回るとき，回転角は外角 $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$ である。最初の中心 $C$ での糸の長さは $s$，次の頂点では $2s$，以下同様に $ks\ (k=1,\ldots,n)$ となる。したがって端の移動距離は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\theta ks=\frac{2\pi}{n}\frac{l}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{n}l\pi.$$ 各頂点で糸が掃く扇形の面積は $\displaystyle \frac12\theta(ks)^2$ だから，合計面積は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac12\theta(ks)^2 =\frac{\pi}{n}\frac{l^2}{n^2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{1}{n^2}\left(\frac13n^2+\frac12n+\frac16\right)l^2\pi.$$ 特に $n=5$ のとき，最初の半径は $\displaystyle \frac{l}{5}$，中心角は $\displaystyle \frac{2\pi}{5}$，移動距離は $\displaystyle \frac{6l\pi}{5}$，面積は $\displaystyle \frac{11l^2\pi}{25}$ である。また $n\to\infty$ とすると，距離は $l\pi$，面積は $\displaystyle \frac{l^2\pi}{3}$ に近づく。よって $\displaystyle \text{ア}=1,\ \text{イ}=5,\ \text{ウ}=2,\ \text{エ}=5,\ \text{オ}=6,\ \text{カ}=5,\ \text{キク}=11,\ \text{ケコ}=25,\ \text{サ}=1,\ \text{シ}/\text{ス}=\frac13,\ \text{セ}=1,\ \text{ソ}/\text{タ}=\frac13$ である。

(3) $f'(x)=3x^2-1$ より極値をとる $x$ は $\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt3}{3}$ である。$\displaystyle f\left(\pm\frac{\sqrt3}{3}\right)=\mp\frac{2\sqrt3}{9}$ である。$p,q,r$ を $x^3-x-t=0$ の3根とみると，解と係数の関係から $$p+q+r=0,\qquad pq+qr+rp=-1.$$ よって $\text{力}=0,\ \text{キク}=-1$ である。

極値の間の $t$ では $f(x)-t$ は $p<x<q$ で正，$q<x<r$ で負なので $$\displaystyle G(t)=\int_{p(t)}^{q(t)}(f(x)-t)\,dx+\int_{q(t)}^{r(t)}(t-f(x))\,dx.$$ 各端点では被積分関数が0である。微分積分の基本定理と合成関数の微分法により，積分区間の端点の変化による項は0となり， $$G'(t)=-(q-p)+(r-q)=(r-q)-(q-p).$$ これは選択肢Aの(d)である。また $p+q+r=0$ より $p+r=-q$ だから $G'(t)=p+r-2q=-3q$ となり，選択肢Bは(b)である。$G'(t)=1$ なら $q=-1/3$ であり，$t=f(q)=(-1/3)^3-(-1/3)=8/27$ である。

(4) $3-t\le x\le6-t$ の範囲 は長さ3の区間である。$a<0$ なら遠方の区間で$h(t)$は下に限りなく小さくなり，条件に反する。$a=0,b<0$ も同様である。$a=0,b>0$ なら最小点は0だけで，$h(t)$ が最小値をとるのは区間が0を含む$3\le t\le6$に限られ，$b=0$なら$h(t)$は一定となる。いずれも条件に合わないから$a>0$である。また$b\ge0$なら最小点は0だけとなり同様に矛盾するので$b<0$であり，$f$ の最小点は $x=\pm r\ (r>0)$ の2点である。最小値を $m$ とすると，$f(x)=m$ となるのはこの2点だけである。したがって，$3-t\le x\le6-t$ の範囲での最小値が $m$ となるのは，この区間が $r$ または $-r$ の少なくとも一方を含むときに限る。$r$ を含む条件は $3-r\le t\le6-r$，$-r$ を含む条件は $3+r\le t\le6+r$ だから，最小値が $m$ となる $t$ の集合は $$3-r\le t\le6-r\quad\text{または}\quad3+r\le t\le6+r$$ である。$r>0$ より，第1区間は第2区間の左側にあるので，この2区間が重なるか端で接する条件は $3+r\le6-r$，すなわち $2r\le3$ である。与件では最小値をとる $t$ の集合は$\displaystyle \frac32\le t\le\frac{15}{2}$ の範囲 全体であるから，上の2区間の合併にも切れ目があってはならず，この重なり条件が必要となる。さらに合併の左端と右端はそれぞれ $3-r$，$6+r$ なので， $$\displaystyle 3-r=\frac32,\qquad 6+r=\frac{15}{2}$$ より $r=3/2$ である。このとき $2r=3$ となり，2区間は $t=9/2$ でちょうど接する。よって $f'(x)=2x(2ax^2+b)$ より $\displaystyle b=-2ar^2=-\frac92a$ となる。

また $t=9/2$ では区間は $-3/2\le x\le3/2$ の範囲 であり，最大値は $f(0)=c$ である。したがって $c=3/2$ である。平方完成すると最小値は $\displaystyle c-\frac{b^2}{4a}$ だから $$\displaystyle \frac32-\frac{(9a/2)^2}{4a}=-\frac{57}{16} \quad\text{したがって}\quad a=1,\quad b=-\frac92,\quad c=\frac32.$$ このとき $\displaystyle f(x)-c=x^2\left(x^2-\frac92\right)$ であり，$f(x)=c$ の境界は $\displaystyle x=\pm\frac{3}{\sqrt2}$ である。長さ3の区間が $0$ を含み $-3/\sqrt2\le x\le3/\sqrt2$ の範囲 に収まる $t$ の範囲は $$\displaystyle 6-\frac{3}{\sqrt2}\le t\le 3+\frac{3}{\sqrt2}.$$ ゆえに $\displaystyle \alpha=6-\frac{3\sqrt2}{2},\quad\beta=3+\frac{3\sqrt2}{2}$ である。