II順天堂大学 2016年 数学 第II問解答・解説

正五角形の1辺を $s=AB$，外接円の半径を $R=AH$，対角線を $d=AC$ とおく。正五角形の内角は $108^\circ$ だから，$\triangle ABC$ の底角は $36^\circ$ である。対角線の交点を $I$ とすると，$\triangle IAB$ と $\triangle BCA$ は相似であり，対応する辺から $$\displaystyle AI=\frac{s^2}{d}$$ を得る。また，$\triangle BIC$ の角は $72^\circ,36^\circ,72^\circ$ であるから $CI=BC=s$ である。よって $$\displaystyle d=AI+IC=\frac{s^2}{d}+s, \qquad \left(\frac ds\right)^2-\frac ds-1=0.$$ $d/s>0$ より $d/s=(1+\sqrt5)/2$ であり，$\displaystyle AC=\frac{1+\sqrt5}{2}AB$ となる。余弦定理から $$\displaystyle \cos\angle BAC=\frac{s^2+d^2-s^2}{2sd}=\frac{d}{2s}=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$ さらに弦の長さより $s=2R\sin36^\circ$ である。$\cos36^\circ=d/(2s)=(1+\sqrt5)/4$ を使うと $$\displaystyle \frac{s^2}{R^2}=4\sin^2 36^\circ=4\left(1-\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2\right)=\frac{5-\sqrt5}{2},$$ したがって $\displaystyle AB=\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{2}AH$ である。

$FA=AB=s$ かつ $AH=R$ だから，直角三角形 $FHA$ より $$\displaystyle FH^2=s^2-R^2=\frac{3-\sqrt5}{2}R^2, \qquad FH=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$ $O$ は直線 $FH$ 上で $H$ の側にあり，$x=HO$ とおくと $FO=FH+x$，$AO^2=R^2+x^2$ である。条件 $FO=AO$ から $$\displaystyle (FH+x)^2=R^2+x^2, \qquad x=\frac{R^2-FH^2}{2FH}=\frac R2.$$ よって $\displaystyle HO=\frac12AH$，$\displaystyle FO=FH+HO=\frac{\sqrt5}{2}AH$ である。

$\triangle FAB$ は正三角形なので，重心 $G$ までの距離は $\displaystyle FG=\frac{\sqrt3}{3}AB$ である。先ほどの $AB/AH$ を代入すると $$\displaystyle FG=\frac{\sqrt{30-6\sqrt5}}{6}AH.$$ 正二十面体の中心 $O$ は各頂点から等距離にあるため，その正三角形の面 $FAB$ への垂線の足は同面の外心，すなわち重心 $G$ である。よって $OG\perp FAB$ で，$\triangle FGO$ は $G$ を直角とする。したがって $$\displaystyle GO^2=FO^2-FG^2 =\left(\frac54-\frac{5-\sqrt5}{6}\right)R^2 =\frac{5+2\sqrt5}{12}R^2.$$ $R^2/AB^2=2/(5-\sqrt5)$ を用いて整理すれば $$\displaystyle GO^2=\frac{7+3\sqrt5}{24}AB^2, \qquad GO=\frac{3\sqrt3+\sqrt{15}}{12}AB.$$

正二十面体の表面積は，正三角形20枚の面積の和だから $$\displaystyle S=20\cdot\frac{\sqrt3}{4}AB^2=5\sqrt3\,AB^2.$$ 中心から各面へ垂線を下ろすと正二十面体は高さ $GO$ の三角錐20個に分かれる。よって体積は $$\displaystyle V=\frac13S\cdot GO =\frac13\cdot5\sqrt3\,AB^2\cdot\frac{3\sqrt3+\sqrt{15}}{12}AB =\frac{15+5\sqrt5}{12}AB^3.$$ 以上より，各空欄は $\text{ア}=1,\text{イ}=5,\text{ウ}=2,\text{工}=1,\text{オ}=5,\text{カ}=4,\text{キク}=10,\text{ケ}=2,\text{コ}=5,\text{サ}=2,\text{シス}=-1,\text{セ}=5,\text{ソ}=2,\text{タ}=1,\text{チ}=2,\text{ツ}=5,\text{テ}=2,\text{ト}=3,\text{ナ}=3,\text{二又}=30,\text{ネ}=6,\text{ノ}=5,\text{ハ}=6,\text{ヒ}=3,\text{フ}=3,\text{ヘホ}=15,\text{マミ}=12,\text{ム}=5,\text{メ}=3,\text{モヤ}=15,\text{ユ}=5,\text{ヨ}=5,\text{ラリ}=12$ である。