4帝京大学 2008年 数学 第4問解答・解説

(1) 余弦定理より $$\displaystyle \cos\angle BAC =\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} =\frac{28^2+25^2-17^2}{2\cdot28\cdot25} =\frac45.$$ 角 $A$ は三角形の内角なので $\sin A=3/5$。従って三角形の面積は $$\displaystyle \frac12\cdot28\cdot25\cdot\frac35=210.$$ また，底辺を $AB$ とすると同じ面積は $\displaystyle \frac12\cdot28\cdot CF$ だから，$CF=15$。

(2) まず直角に着目する。垂線の足の定義から， $$\begin{array}{c|c} \text{直径}&\text{同じ円周上にある4点}\\ \hline AB& A,B,D,E\\ AC& A,C,D,F\\ BC& B,C,E,F\\ AH& A,E,F,H\\ BH& B,D,F,H\\ CH& C,D,E,H \end{array}$$ がそれぞれ同一円周上にある。例えば $AD\perp BC$ より $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ$，また $BE\perp AC$ より $\angle AEB=\angle BEC=90^\circ$ なので，最初の円は直径 $AB$，3番目の円は直径 $BC$ をもつ。残りも同様に，それぞれの直径に対する二つの直角から従う。

このほかに4点の組がないことを確認するため，座標を置く。余弦・面積の結果から $$A=(0,0),\quad B=(28,0),\quad F=(20,0),\quad C=(20,15)$$ とできる。$BC$ の方向ベクトルは $(-8,15)$ なので，垂足と垂心の座標は $$\displaystyle D=B+\frac{224}{289}(C-B)=\left(\frac{6300}{289},\frac{3360}{289}\right),\quad E=\frac{112}{125}C=\left(\frac{448}{25},\frac{336}{25}\right),\quad H=\left(20,\frac{32}{3}\right).$$ この7点で一直線上にある3点は $ABF, ACE, BCD, ADH, BEH, CFH$ である。一つの円と直線は高々2点で交わるから，これらのいずれかを含む4点組は除かれる。残る11組のうち，上表の6組以外は $ABCH,ADEF,BDEF,CDEF,DEFH$ である。

円の方程式を $x^2+y^2+ux+vy+w=0$ として残り5組を確かめる。$A,B,C$ を通る円の左辺は $H$ で $-832/9$，$A,D,E$ または $B,D,E$ を通る円 $x^2+y^2-28x=0$ の左辺は $F$ で $-160$，$C,D,E$ を通る円 $\displaystyle x^2+y^2-40x-\frac{77}{3}y+560=0$ の左辺は $F$ で $160$，$D,E,F$ を通る円 $\displaystyle x^2+y^2-34x-\frac{77}{6}y+280=0$ の左辺は $H$ で $-208/9$ となり，いずれも0でない。従って4点が同一円周上にある組は上表の6組だけである。

各円の直径は $AB=28$，$AC=25$，$BC=17$，$AH$，$BH$，$CH$ である。座標から $$\displaystyle AH=\sqrt{20^2+\left(\frac{32}{3}\right)^2}=\frac{68}{3},\qquad BH=\sqrt{8^2+\left(\frac{32}{3}\right)^2}=\frac{40}{3},\qquad CH=15-\frac{32}{3}=\frac{13}{3}.$$ これらを比べると最小の直径は $CH=13/3$ である。