3帝京大学 2008年 数学 第3問解答・解説

平方完成すると $$y=x^2-2ax+3a-2=(x-a)^2-a^2+3a-2.$$ したがって最小値は $l(a)=-a^2+3a-2=-(a-1)(a-2)$ である。

(1) 最小値が正となる条件は $$-(a-1)(a-2)>0.$$ この二次式は下に凸ではなく上に凸の $a^2$ の負の係数をもつので，根 $1,2$ の間で正となる。よって $$1<a<2.$$

(2) $x$ 軸との交点の判別式は $$\Delta=(-2a)^2-4(3a-2)=4(a-1)(a-2).$$ 2点で交わるには $\Delta>0$ が必要である。このとき解の差は $\sqrt{\Delta}=2\sqrt{(a-1)(a-2)}$ なので，差が4より大きい条件は $$2\sqrt{(a-1)(a-2)}>4 \quad\text{すなわち}\quad a^2-3a-2>0.$$ この二次不等式の根は $(3-\sqrt{17})/2$，$(3+\sqrt{17})/2$ である。従って $$\displaystyle a<\frac{3-\sqrt{17}}2\quad\text{または}\quad a>\frac{3+\sqrt{17}}2.$$ この範囲は $\Delta>0$ の範囲 $a<1$ または $a>2$ に含まれるため，2点で交わる条件も満たしている。

(3) $l(a)=-a^2+3a-2$ は下に凸ではなく上に凸の二次関数であり，頂点は $a=3/2$ である。区間 $0\leq a\leq4$ では最大値が頂点で $$\displaystyle l(3/2)=\frac14$$ となる。最小値は端点のどちらかで生じ， $$l(0)=-2,\qquad l(4)=-6$$ より最小値は $-6$ である。連続な二次関数なので，取りうる範囲は $$\displaystyle -6\leq l\leq\frac14$$ である。