12自治医科大学 2008年 数学 第12問解答・解説

頂点の座標から係数を求めると $$\displaystyle y=\left(x+\frac p2\right)^2+q-\frac{p^2}{4},\qquad -\frac p2=a+2,\quad q-\frac{p^2}{4}=2a-1$$ である。したがって $$p=-2a-4,\qquad q=2a-1+(a+2)^2=a^2+6a+3.$$ 放物線と直線の共有点の $x$ 座標は $$x^2+(p-m)x+(q+n)=0$$ を満たす。接するためにはこの二次方程式が重解をもつので、判別式が $0$ となる。直線は固定され、$a$ の変化に応じて常に接するから、判別式はすべての $a$ で $0$ である。よって $$\begin{aligned} 0&=(p-m)^2-4(q+n)\\ &=(-2a-4-m)^2-4(a^2+6a+3+n)\\ &=4(m-2)a+(m+4)^2-12-4n. \end{aligned}$$ これが $a$ の恒等式であるから、係数を比較して $$m=2,\qquad (m+4)^2-12-4n=0.$$ したがって $36-12-4n=0$ より $$\boxed{n=6}\quad\text{（選択肢マ）}.$$ 実際、$m=2,\ n=6$ とすると共有点を定める方程式は $$x^2-2(a+3)x+(a+3)^2=(x-a-3)^2=0$$ となり、すべての $a$ で重解をもつ。接する条件も満たしている。