5自治医科大学 2008年 数学 第5問解答・解説

底面積は $6^2=36$ であるから、四角錐の体積は $$\displaystyle V_{\mathrm{pyr}}=\frac13\cdot36\cdot4=48.$$ 頂点から底面の中心を通って底辺の中点へ引いた断面を考えると、側面の高さ $\ell$ は $$\ell=\sqrt{4^2+3^2}=5.$$ したがって側面1枚の面積は $\displaystyle \frac12\cdot6\cdot5=15$、四角錐の表面積は $$A_{\mathrm{tot}}=36+4\cdot15=96.$$ 内接球の半径を $r$ とする。球の中心を頂点として各面を底面とする錐体（三角錐4個と四角錐1個）に分けると、各錐体の高さは $r$ である。よって $$\displaystyle 48=V_{\mathrm{pyr}}=\frac13 rA_{\mathrm{tot}}=\frac13\cdot r\cdot96, \qquad r=\frac32.$$ したがって球の体積は $$\displaystyle V=\frac43\pi r^3 =\frac43\pi\left(\frac32\right)^3 =\frac{9\pi}{2}.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{2V}{\pi}=9.$$ 共通の選択肢では、答えは $\text{ワ}$ である。