13自治医科大学 2008年 数学 第13問解答・解説

直線 $L_1$ から $y=8-x$。これを円 $C$ に代入すると $$(x+5)^2+(8-x)^2=89 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 2x(x-3)=0.$$ したがって交点は $P=(0,8)$、$Q=(3,5)$ である。

2点 $P,Q$ を通る円の中心は $P,Q$ から等距離にある。中心を $O=(u,v)$ とおくと $$u^2+(v-8)^2=(u-3)^2+(v-5)^2 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad v=u+5.$$ よって中心を $O=(t,t+5)$ と表せる。この円の半径 $r$ は $$r^2=t^2+(t-3)^2.$$ 直線 $L_2:x=-3$ に接する条件は、半径が中心から $L_2$ までの距離に等しいことだから $$r=|t+3|.$$ 両辺は長さで非負なので、二乗して $$t^2+(t-3)^2=(t+3)^2 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad t(t-12)=0.$$ したがって $t=0$ または $t=12$。それぞれ半径は $$r=\sqrt{0^2+(0-3)^2}=3,\qquad r=\sqrt{12^2+(12-3)^2}=15.$$ 2つの半径は $p>q$ より $p=15,\ q=3$。ゆえに $$\displaystyle \frac{p-q}{2}=\frac{15-3}{2}=6.$$ 共通の選択肢では、答えは $\text{マ}$ である。