2山口大学 2007年 数学 第2問解答・解説

円 $S$ の中心は $(1/2,0)$、半径は $1/2$ だから、その方程式は $$x^2+y^2=x$$ である。直線 $OP$ 上の点を $(s,st)$ とおくと、円との交点の条件は $s^2(1+t^2)=s$。したがって $s=0$ または $s=1/(1+t^2)$ であり、$O$ でない交点は $$\displaystyle Q=\left(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2}\right)$$ である。$Q$ は $O$ と $P$ を結ぶ線分上にあり、$|OP|=\sqrt{1+t^2}$ なので $$\displaystyle PQ=\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)|OP| =\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}.$$ よって (1) は $\displaystyle OR=\dfrac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}$。また $$\displaystyle \frac{OR}{OP}=\frac{t^2}{1+t^2}<1$$ だから、$R$ は線分 $OP$ 上にあり、その $O$ からの比は $t^2/(1+t^2)$。従って $$\displaystyle R=\left(\frac{t^2}{1+t^2},\frac{t^3}{1+t^2}\right)$$ となり、これが (2) の答えである。

(3) では $t\ge0$ とする。$R=(x,y)$ とおけば $$\displaystyle x=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{t^3}{1+t^2}=xt,\qquad t^2=\frac{x}{1-x}.$$ 従って軌跡は $\displaystyle y\ge0,\ y^2=\dfrac{x^3}{1-x}$（$0\le x<1$）で表される。境界 $x=1/2$ では $t=1$ だから、囲まれた領域の $x$ の範囲は $0\le x\le1/2$。これを $x$ 軸のまわりに回転すると $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^{1/2}y^2\,dx =\pi\int_0^{1/2}\frac{x^3}{1-x}\,dx\\ &=\pi\int_0^{1/2}\left(-x^2-x-1+\frac1{1-x}\right)dx\\ &=\pi\left[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x-\ln(1-x)\right]_0^{1/2} =\pi\left(\ln2-\frac23\right). \end{aligned}$$