4山口大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) 表の回数を $H$、裏の回数を $T$ とする。終点が $+4$ である条件は $$H+T=10,\qquad H-T=4,$$ なので $H=7,\ T=3$。裏の位置を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{10}{3}$ 通り、全ての10回の列は $2^{10}$ 通りで同様に確からしい。したがって $$\displaystyle P(P_{10}=4)=\frac{\binom{10}{3}}{2^{10}}=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}.$$

(2) 1回目以降に原点も負の部分も通らないため、初手は表でなければならない。初手後の高さは $1$ である。そこから高さを1だけ引いた残り9歩を考えると、始点 $0$、終点 $3$ で、各時点の高さが $0$ 以上の経路を数えることになる。表6回・裏3回の全ての残り9歩は $\displaystyle \binom{9}{3}=84$ 通り。

条件を破る経路は初めて $-1$ に達するまで表裏を交換すると、9歩後に $+5$ にいる経路となる。逆に終点が $+5$ の経路は、初めて $+1$ に達するまで表裏を交換すれば条件を破る経路に戻るので、二種類の経路は一対一に対応する。終点 $+5$ の経路は表7回・裏2回、よって $\displaystyle \binom{9}{2}=36$ 通り。条件を満たす残り列は $$\displaystyle \binom{9}{3}-\binom{9}{2}=84-36=48$$ 通り。これらは初手を表に固定した48個の10回列であり、全ての10回列 $2^{10}=1024$ 個のうちの割合をとるから、 $$\displaystyle P=\frac{48}{2^{10}}=\frac{48}{1024}=\frac{3}{64}.$$

(1) 終点条件から表7回・裏3回の列を組合せで数える。(2) 初手の表を固定し、高さを1だけ下げて非負経路へ移す。最初の−1到達までの表裏反転により、不適格列と終点+5の経路を一対一に対応させ、不適格列を引く。