15自治医科大学 2007年 数学 第15問解答・解説

$x,y,z,u$ は自然数なので、$x-1,y-1,z-1,u-1$ は非負整数であり、 $$(x-1)+(y-1)+(z-1)+(u-1)=6$$ を満たす。したがって、$N$ は6個の同じ玉と3本の仕切りを並べる方法の数に等しい。仕切りを置く9か所の位置から3か所を選べばよいので、 $$\displaystyle N=\binom{9}{3}=84.$$

同様に、$M$ については $x-1,y-1,z-1$ が非負整数で、その和が5である。5個の同じ玉と2本の仕切りを並べる方法の数を数えると、 $$\displaystyle M=\binom{7}{2}=21.$$

よって、 $$\displaystyle \frac{N}{M}=\frac{84}{21}=4.$$ 選択肢ではナ（4）である。