25自治医科大学 2007年 数学 第25問解答・解説

$\displaystyle 0\le x\le \dfrac75$ とする。$0\le t\le x$ では $$q(t)=t^2-4xt+8$$ とおくと、$q'(t)=2t-4x=2(t-2x)\le 0$ である。したがって $q(t)$ は $0\le t\le x$ で減少し、 $$\displaystyle q(t)\ge q(x)=8-3x^2\ge 8-3\left(\frac75\right)^2=\frac{53}{25}>0$$ となる。よって積分区間では絶対値を外せるから、 $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\int_0^x(t^2-4xt+8)\,dt\\ &=\left[\frac{t^3}{3}-2xt^2+8t\right]_0^x =8x-\frac53x^3. \end{aligned}$$ $$f'(x)=8-5x^2$$ より、$f'(x)=0$ となる区間内の点は $\displaystyle a=\sqrt{\dfrac85}$ である（$\displaystyle 0<a<\dfrac75$）。$0\le x<a$ では $f'(x)>0$、$\displaystyle a<x\le\dfrac75$ では $f'(x)<0$ だから、$f(x)$ は $x=a$ で最大となる。$\displaystyle a^2=\dfrac85$ を用いると $$\displaystyle M=f(a)=8a-\frac53a^3=\frac{16}{3}a, \qquad \frac{45}{256}M^2 =\frac{45}{256}\cdot\frac{256}{9}\cdot\frac85=8.$$ 選択肢では $8$ はラである。