5自治医科大学 2007年 数学 第5問解答・解説

$D=ab+a+1$ とおく。$(a,b,c)$ は自然数なので $D>0$、また $bc\ne0$、$c\ne0$ である。条件 $n=abc$ を使うと、第二項と第三項の分母は $$bc+nb+n=bc+ab^{2}c+abc=bc(ab+a+1)=bcD,$$ $$ca+c+n=ca+c+abc=c(ab+a+1)=cD$$ となる。したがって、与式を $E$ とすると $$\displaystyle \begin{aligned} E&=\frac{3a}{D}+\frac{3abc\,b}{bcD}+\frac{3c}{cD}\\ &=\frac{3a}{D}+\frac{3ab}{D}+\frac{3}{D}\\ &=\frac{3(ab+a+1)}{D}=3. \end{aligned}$$ 最後に、例えば $a=b=c=1$ とすると $n=1$ となり、与式の各項は $1$ で和は $3$ である。得られた値と一致する。よって答えは $3$（選択肢タ）である。