14自治医科大学 2007年 数学 第14問解答・解説

千の位の数字は $0$ ではないので、千の位には $1,2,3,4,5,6$ の $6$ 通りがある。千の位を決めると、残る $6$ 個から百の位、さらに残る $5$ 個から十の位、最後に残る $4$ 個から一の位を選ぶ。したがって $$N=6\cdot6\cdot5\cdot4=720.$$

両端が奇数になるには、千の位に $1,3,5$ のいずれかを置き、その後、一の位には残った奇数を置く。両端の選び方は $3\cdot2$ 通りである。両端を決めると残る数字は $5$ 個なので、百の位、十の位の選び方は順に $5$ 通り、$4$ 通りである。よって $$M=3\cdot2\cdot5\cdot4=120.$$

したがって $$\displaystyle \frac{N}{M}=\frac{720}{120}=6.$$ 検算として、$0,1,2,3,4,5,6$ から異なる $4$ 個を順に並べる方法は $7\cdot6\cdot5\cdot4=840$ 通りであり、先頭が $0$ となる並べ方は $6\cdot5\cdot4=120$ 通りである。この差も $N=720$ と一致する。また、$M=120$ を $6$ 倍すると $N=720$ となる。選択肢では $6$ はマに当たる。