17自治医科大学 2007年 数学 第17問解答・解説

辺の長さが $4,5,7$ の三角形は $4+5>7$ を満たすので存在する。辺 $4,5$ のなす角を $\theta$ とすると、余弦定理から $$\displaystyle \cos\theta=\frac{4^2+5^2-7^2}{2\cdot4\cdot5}=\frac{16+25-49}{40}=-\frac15.$$ 三角形の内角なので $0<\theta<\pi$ であり、$\sin\theta>0$ である。したがって $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac1{25}}=\frac{2\sqrt6}{5}.$$ 三角形の面積を $S$ とすれば $$\displaystyle S=\frac12\cdot4\cdot5\sin\theta=4\sqrt6.$$ 内心から各辺までの距離はすべて $r$ である。内心を頂点とする三つの三角形に分けると $$\displaystyle S=\frac12(4+5+7)r=8r$$ となるので、$\displaystyle r=\frac{\sqrt6}{2}$。よって $$\displaystyle 4r^2=4\left(\frac{\sqrt6}{2}\right)^2=6.$$ 検算として $\displaystyle 8r=8\cdot\frac{\sqrt6}{2}=4\sqrt6$ となり、求めた半径は上の面積と一致する。選択肢は $\text{マ}$。