12自治医科大学 2007年 数学 第12問解答・解説

はずれくじは $12-a$ 本ある。12本から同時に2本を引く組合せは $\displaystyle \binom{12}{2}=66$ 通りであり、どの組合せも同様に確からしい。2本ともはずれる組合せは $\displaystyle \binom{12-a}{2}$ 通りなので、条件より $$\displaystyle \frac{\binom{12-a}{2}}{66}=\frac{14}{33},\qquad \binom{12-a}{2}=28.$$ ここで、はずれくじの本数を $b=12-a$ とおくと、$0\leq b\leq12$ であり、$$\displaystyle \frac{b(b-1)}{2}=28,\qquad b^2-b-56=0,\qquad (b-8)(b+7)=0.$$ $b\geq0$ より $b=8$ であるから、$a=12-8=4$ となる。実際、$\displaystyle \binom{8}{2}/\binom{12}{2}=28/66=14/33$ で条件を満たす。よって、答えは $a=4$（選択肢ナ）である。