6自治医科大学 2007年 数学 第6問解答・解説

分子を分母の2倍と余りに分けると、$$\displaystyle 4n+1=2(2n-1)+3,\qquad \frac{4n+1}{2n-1}=2+\frac{3}{2n-1}.$$ したがって、もとの分数が整数となるための必要十分条件は、$2n-1$ が $3$ を割り切ることである。自然数 $n$ を正の整数とする通常の約束では $2n-1$ は正の奇数なので、$2n-1=1,3$、すなわち $n=1,2$ である。$$\displaystyle n=1:\ \frac{4n+1}{2n-1}=\frac51=5,\qquad n=2:\ \frac{4n+1}{2n-1}=\frac93=3.$$ なお、自然数に $0$ を含める約束でも、追加候補 $n=0$ の値は $-1$ なので最大値は変わらない。よって最大値は $5$（選択肢ハ）である。