19自治医科大学 2007年 数学 第19問解答・解説

円の中心を $O$、半径を $r$ とする。直径の両端が $A(a,3)$、$B(1,-1)$ なので、 $$\displaystyle O\left(\frac{a+1}{2},1\right),\qquad r=\frac12\sqrt{(a-1)^2+\{3-(-1)\}^2} =\frac12\sqrt{(a-1)^2+16}$$ である。円が $y$ 軸に接するから、中心から $y$ 軸までの距離と半径が等しい。したがって $$\displaystyle \frac{|a+1|}{2}=r \quad\text{より}\quad (a+1)^2=(a-1)^2+16 \quad\text{より}\quad a=4.$$ よって $\displaystyle O\left(\frac52,1\right)$、$\displaystyle r=\frac52$ であり、円 $C$ の方程式は $$\displaystyle \left(x-\frac52\right)^2+(y-1)^2=\frac{25}{4}$$ となる。$x$ 軸上では $y=0$ なので、交点の $x$ 座標は $$\displaystyle \left(x-\frac52\right)^2=\frac{21}{4},\qquad x=\frac{5-\sqrt{21}}2,\ \frac{5+\sqrt{21}}2.$$ したがって $b=PQ=\sqrt{21}$ であり、 $$b^2-a^2=21-16=5.$$ 答えは $5$（選択肢ハ）である。