1東京医科歯科大学 2007年 数学 第1問解答・解説

(1) 円錐の母線の長さを $\ell$ とすると、三平方の定理から $$\ell=\sqrt{r^2+h^2}.$$ 側面を展開した扇形の弧の長さは底面の円周 $2\pi r$ なので、側面積は $$\displaystyle \frac12\ell\cdot 2\pi r=\pi r\sqrt{r^2+h^2}.$$

(2) $\displaystyle B=\frac32 A$ だから $O,A,B$ は同じ半直線上にある。また $$\displaystyle OA=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2+1^2}=\frac2{\sqrt3},\qquad OB=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac32\right)^2}=\sqrt3.$$ 線分 $AB$ が回転してできる円錐台の側面積は、頂点 $O$ の二つの円錐の側面積の差である。したがって $$\displaystyle \pi\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3-\pi\frac{\sqrt3}{3}\cdot\frac2{\sqrt3}=\frac{5\pi}{6}.$$ 線分 $BE$ と $FA$ はそれぞれ半径 $\sqrt3/2$ と $\sqrt3/3$ の円板を作り、$EF$ は回転軸上にある。よって回転体の表面積は $$\displaystyle \frac{5\pi}{6}+\pi\left\{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2\right\} =\frac{5\pi}{6}+\frac{13\pi}{12}=\frac{23\pi}{12}.$$

(3) $Q=(x,y)$ とおく。条件から $x>0$, $y>1$ で、$P$ は線分 $OQ$ 上かつ $y$ 座標が $1$ だから $$\displaystyle P=\left(\frac{x}{y},1\right).$$ 線分 $PQ$ を回転してできる面は、線分 $OQ$ が作る円錐の側面から、線分 $OP$ が作る円錐の側面を除いた円錐台の側面である。$OQ=\sqrt3$, $OP=\sqrt3/y$ なので $$\displaystyle S=\pi x\sqrt3-\pi\frac{x}{y}\frac{\sqrt3}{y} =\pi\sqrt3\,x\frac{y^2-1}{y^2}.$$ $t=y^2$ とおくと $1<t<3$, $x^2=3-t$ である。$S\ge0$ より $$\displaystyle S^2=3\pi^2\frac{(3-t)(t-1)^2}{t^2}.$$ ここで $$t^2-4(3-t)(t-1)^2=(t-2)^2(4t-3)\ge0$$ である。$t>1$ だから $t^2>0$ かつ $4t-3>0$ であり、上の不等式から $$\displaystyle \frac{(3-t)(t-1)^2}{t^2}\le\frac14, \qquad S^2\le\frac{3\pi^2}{4}.$$ したがって $S\le\pi\sqrt3/2$。等号は $t=2$ のときに成り立ち、そのとき $(x,y)=(1,\sqrt2)$ は指定範囲内にある。ゆえに最大値は $$\displaystyle \boxed{\frac{\pi\sqrt3}{2}}.$$