1山形大学 2011年 数学 第1問解答・解説

$\ell_1:y=k(x-1)$ である。これに垂直で $(3,0)$ を通る直線は $\ell_2:x+ky=3$（$k=0$ のときも $x=3$）である。 (1) 連立すると $\displaystyle D=\left(\frac{k^2+3}{k^2+1},\frac{2k}{k^2+1}\right)$. よって中心 $(2,0)$ からの距離の二乗は $\displaystyle \left(\frac{1-k^2}{1+k^2}\right)^2+\left(\frac{2k}{1+k^2}\right)^2=1$. 円の半径は $2$ なので $D$ は円の内部にある。 (2) $\ell_1$ を $kx-y-k=0$ と表すと、中心 $(2,0)$ から $\ell_1$ までの距離は $\displaystyle d_1=\frac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}$. 半径 $2$ の円で中心から距離 $d_1$ の直線が切り取る弦の長さは $2\sqrt{4-d_1^2}$ だから、$\displaystyle |AB|=2\sqrt{\frac{4+3k^2}{1+k^2}}$. (3) $\ell_2:x+ky-3=0$ と中心との距離は $\displaystyle d_2=\frac1{\sqrt{1+k^2}}$. 同様に $\displaystyle |PQ|=2\sqrt{4-d_2^2}=2\sqrt{\frac{3+4k^2}{1+k^2}}$. (4) $D$ は円内にあり、$AB$ と $PQ$ は直交する対角線である。したがって $\displaystyle [APBQ]=\frac12|AB||PQ|$. $t=k^2\ge0$ とすると $\displaystyle [APBQ]=2\sqrt{\frac{(4+3t)(3+4t)}{(1+t)^2}}=2\sqrt{12+\frac{t}{(1+t)^2}}$. $(1+t)^2\ge4t$ より $\displaystyle \frac{t}{(1+t)^2}\le\frac14$ で、$t=1$ のとき等号となる。よって面積の最大値は $\displaystyle 2\sqrt{12+\frac14}=7$（$k=\pm1$ で実現）.